Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
58
Готическая буква 95 обозначает некоторую о-алгебру подмножеств множества ?2. Напомним, что о-алгеброй называется совокупность подмножеств й, обладающая следующими свойствами: 1) 0е95, Йе95; 2) с каждым подмножеством i4e® его дополнение Л = й\.Де95; 3) если дана счетная система подмножеств Аи А2.....Ап,... е95, то
и А, еаз, П At е= 95. i-1 i=l
Элементы о-алгебры 95 называются событиями; они идеализируют события, реально наблюдаемые в опыте. Например, при бросании точки на отрезок [0, 1] множество элементарны.': событий й={0, 1], а в качестве элементов 95 могут быть взяты подмножества отрезка [0, 1], измеримые по Лебегу. Этнх подмножеств с большим избытком достаточно для описания всего того, что можно попытаться наблюдать в физическом опыте. Естественно даже попытаться уменьшить их запас.
Заметим, однако, что такое уменьшение не может пойти особенно далеко. Действительно, отказаться от возможности наблюдать событие, состоящее в том, что случайная точка ю попадает на некоторый отрезок [а, (J], 0<a<(J^l, было бы нелепо. Но 95 — а-алгебра, т. е. если положим, что [a, (J]e95, то мы должны включить в 95 все множества, которые получаются из отрезков счетными операциями суммы и пересечения; следовательно, включить в 95 и те множества, которые получаются счетными операциями над тем, что получается счетными операциями, из отрезков, и т. д. Дальше можно продолжить по индукции, но не по обычной математической индукции по членам натурального ряда, а по индукции, трансфинитной по счетным вполне упорядоченным множествам. Ясно, что хорошо бы иметь более простое описание элементов той а-алгебры, которая возникает из отрезков.
Такое описание состоит в следующем. Заметим, что пересечение любого множества о-алгебр 95а (все а-алгебры состоят из подмножеств одного и того же множества f2) есть опять а-алгебра. Назовем наименьшей а-алгеброй, содержащей данную систему подмножеств At, пересечение всех о-алгебр, каждая из которых содержит систему (Хотя бы одна такая о-алгебра заведомо существует — это а-алгебра всех подмножеств й.) Говорят еще, что наименьшая о-ал-тебра порождается системой А$.
Определение. Наименьшая а-алгебра, содержащая все интервалы [а, М=(0, 1], называется а-алгеброй борелевс-ких подмножеств отрезка [0, 1]. Аналогично а-алгеброй боре-левских подмножеств прямой R1 называется наименьшая
59
а-алгебра, содержащая все интервалы [a, (в «-мерном
пространстве — все параллелепипеды).
Таким образом, для задачи бросания точки на отрезок, наименьшая возможная а-алгебра — это о-алгебра борелевс-ких подмножеств (борелевская а-алгебра). Она несколько уже, чем а-алгебра измеримых по Лебегу подмножеств, но> это различие не имеет существенного значения.
Замечание 1. Обратите внимание на то, что в наивной теории множеств думать о «множестве всех множеств» нельзя, а о «множестве всех а-алгебр, состоящих из подмножеств данного множества Q», — можно. Мы даже сумеем кое-что доказать, опираясь на данное определение борелевс-кой а-алгебры.
Наконец, латинская буква Р в обозначении вероятностного пространства обозначает счетно-аддитивную меру, определенную на а-алгебре ®, подчиненную дополнительному условию
P(Q) = 1.
Это означает, что если множества Аь А2, ...,А„,... е® ие пересекаются между собой, то, во-первых, определены значения P(i4,), 0<Р(Л,)с1, как и значение P(i4i-M2+ ... + +Ап+ ...), и
ар
P(j4| + j4, + ...+ +•..)= 5j Р(Д|). (1)
i-l
В дискретной модели (1) является простенькой теоремой; в общей теории это аксиома, выражающая свойство вероятностной меры Р.
Замечание 2. Аксиоматикой Колмогорова называется перечисление (в любой форме) свойств объектов (Q, ®, Р). Мы предпочитаем говорить об основных понятиях теории вероятностей по Колмогорову, включая в их число еще определение случайной величины и математического ожидания.
2.2. Случайные величины. Предстоит идеализировать понятие результата измерения или какой-то другой физической величины, зависящей от вмешательства случая. Будем твердо держаться той концепции, что случайная величина % есть функция |=|(ш) от элементарного события <o^Q, но теперь это будет не произвольная (как в дискретной модели), а измеримая функция.
Понятие измеримой функции зависит от двух а-алгебр: одна а-алгебра составлена из подмножеств того пространства,, где принимает значения аргумент; вторая — из подмножеств того пространства, где принимает значения функция. Поскольку Q в нашей аксиоматике — произвольное множество» ничего содержательного нельзя сказать о а-алгебре ® под-
60
множеств Я. Разберемся немного с cr-алгебрами в области значений функции, которые обычно называются борелевскими
0-алгебрами (или о-алгебрами борелевских подмножеств).
Говоря о о-алгебрах борелевских множеств, можем широко варьировать системы множеств, которыми эти о-алгебры порождаются. Так, в случае R1 можно начинать с замкнутых интервалов [a.pjs/?1, но можно и с открытых интервалов (а, {}) (поскольку замкнутый интервал есть счетное пересечение открытых, а открытый — сумма счетного числа замкнутых). Можно начинать с полубесконечных интервалов (—оо, а), поскольку из их дополнений и пересечений легко создать конечные интервалы.
