Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
В этом рассуждении мы воспользовались так называемой аксиомой произвольного выбора, состоящей в том, что если дана некая система множеств Fa, то позволительно думать и говорить о множестве, составленном из элементов, взятых по одному из каждого множества Fa. Эта аксиома была предметом пристального внимания ряда остроумных математиков. Не то чтобы они привели ее к явному противоречию, но все-таки удалось получить (из аксиомы произвольного выбора) ряд чрезмерно удивительных следствий. На-
56
пример, шар можно разбить на четыре подмножества (ко* нечио, неизмеримых по Лебегу), таких, что два из них, будучи передвинуты евклидовыми движениями, дадут в сумме первоначальный шар, а два других — другой шар того же радиуса. Аналогично из частей одного шара, передвинутых евклидовыми движениями, можно, оказывается, сложить шар большего радиуса. Возникает представление некоторого неблагополучия (по крайней мере — крайней нефизичнос-ти), связанного то ли с аксиомой произвольного выбора, то ли с представлениями о континууме. Понятно, конечно, что при эмпирическом подходе к математической строгости между вещами безусловно разрешенными и безусловно запрещенными должны существовать и сомнительные. Видим, что некоторые сомнительные вещи непосредственно соприкасаются с простейшими вопросами теории меры.
Не приходится поэтому особенно удивляться тому, что аксиоматика, основанная на теории меры, разрешает одни вопросы теории вероятностей весьма просто и изящно, другие же — менее просто и менее изящно. В нашем курсе ие будем пытаться чрезмерно углублять вопросы, связанные с мерой и понятием континуума.
Остановимся еще на вопросе об использовании счетно-аддитивных или конечно-аддитивных мер для аксиоматизации теории вероятностей. Математическую модель случайного бросания точки на отрезок [0, 1] (либо на окружность единичной длины) можно построить разными способами. Можно сказать, что элементарные события — все вещественные числа этого отрезка, события — измеримые по Лебегу множества, а вероятность совпадает с мерой Лебега. При этом получим тот вывод, что мера множества рациональных чисел равна нулю, а мера множества иррациональных чисел равна единице. Пожелаем ли мы интерпретировать этот вывод так, что наудачу брошенная на отрезок точка с вероятностью 1 оказывается иррациональной? Понятно, что в таком выводе нет физического смысла. Следовательно, наша модель имеет тот недостаток, что не все математически верные для нее теоремы допускают физическую интерпретацию. Если желать иметь дело со счетно-аддитивной мерой, то с таким недостатком придется мириться.
С другой стороны, можно сказать, что элементарными событиями являются рациональные числа (поскольку результат физического эксперимента — бросания малого предмета на отрезок — может быть записан лишь с конечным числом десятичных знаков либо в виде дроби т/п). Под вероятностью попадания точки на малый отрезок можно все равно понимать длину отрезка (а событием будет множество рациональных точек, лежащих на этом отрезке). Тогда мера будет лишь коиечио-аддитивной (вероятность попадания в
57
отдельную рациональную точку равна нулю, а в одну из рациональных точек отрезка [0, 1] — единице). Парадокс е иррациональностью наудачу брошенной точки исчезает, но мы попадаем в положение древних греков, для которых иррациональные числа казались таинственными.
На уровне постановки задачи превосходства модели со счетно-аддитивной мерой над моделью с конечно-аддитивной мерой не видно; однако при развитии теории модель со счетно-аддитивной мерой ведет к гораздо более интересной и аналитически удобной математике (в частности, к построению интеграла Лебега). (К этому утверждению следует относиться как к экспериментальному факту.) Следы обдумывания возможностей модели с конечно-аддитивной мерой можно найти в работе А. Н. Колмогорова «Общая теория меры и исчисление вероятностей» [22, с. 48—58]. В более поздней работе [21] сказано лишь, что почти невозможно разъяснить эмпирическое значение счетной аддитивности и что (для бесконечных множеств элементарных событий) мы «произвольно ограничиваемся» счетно-аддитивным случаем. Вероятно, все это свидетельствует о том, что конечно-аддитивный вариант был обдуман и отвергнут.
Резюмируем смысл сказанного во введении. Читатель должен представлять себе, что за кадром замкнутого в себе математического изложения аксиоматики (оно сейчас последует) существуют некоторые серьезные проблемы, которые, может быть, не легче для нас, чем проблема иррациональных чисел для древних греков. Возможно, что с этим как-то связаны те недостатки аксиоматики, которые (как мы увидим) особенно заметны в теории случайных процессов.
§ 2. Основные понятия теории вероятностей по Колмогорову
2.1. Вероятностным пространством называется тройка (Q, ®, Р}. Греческая буква Q (омега) обозначает здесь множество элементарных событий, которое может быть конечным или счетиым множеством, подмножеством евклидова пространства Rn (возможно, совпадающим с Rn, возможно — нет, например, поверхностью единичной сферы в /?"), некоторым множеством функций (целочисленного, вещественного или более сложного аргумента); словом, для общности, Q — произвольное множество. Это множество интерпретируется как множество всевозможных исходов некоторого случайного эксперимента, хотя, конечно, в словах «результатом эксперимента является функция времени» присутствует очень большая идеализация: нет ведь такого носителя информации, на котором можно было бы записать континуум значений более или менее произвольной функции, чтобы задать соответствие между значениями аргумента и функции.
