Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Тутубалин В.Н. -> "Теория вероятностей и случайных процессов" -> 23

Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.

Тутубалин В.Н. Теория вероятностей и случайных процессов — М.: МГУ, 1992. — 400 c.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка): teoriyaveroyatnosteyisluchaynihprocessov1992.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 161 >> Следующая

В современной философии науки выработалось понятие «парадигмы» данной научной области: это греческое слово, обозначающее «пример» или «образец», употребляется, для обозначения коллективных взглядов ученых, работающих в данной области, на то, что «научно» илн «ненаучно», т. е. правильно или неправильно. Интересное наблюдение философов состоит в том, что парадигма существует, конечно, в любой области науки, но никогда не выражается в виде полной системы правил. Например, всякая физическая теория должна, вне всякого сомнения, подтверждаться экспериментом, но что в точности означают эти слова? Ведь и в эксперименте неизбежны ошибки, так что согласие между теорией и экспериментом не бывает полным. До какой же степени оно может быть неполным? На этот вопрос общего ответа нет и, очевидно, быть не может.
Парадигма математики состоит в том, что истинным считается то, что выведено из аксиом и уже известного путем строгого математического доказательства. Математики (включая студентов, изучающих математику) обычно прекрасно могут сказать, является ли данное рассуждение строгим математическим доказательством чего-то или нет. Но попытка сформулировать систему правил, определяющих математическую строгость, всегда будет неполной. Получается некоторая система запретов типа: «никогда не надо путать определение, аксиому и теорему», «стыдно не уметь отличить прямую теорему от обратной», «просто позорно, когда в рассуждениях получается логическое противоречие» и, наконец,
5*
«не смей никогда думать и, тем более, говорить о множестве всех множеств». Нет, однако, никаких гарантий, что к любому списку подобных запретов не придется добавить еще и еще; да и сами запреты, если в них вдумываться, достаточно точного смысла не имеют. Язык математики хотя и строже, чем обычный разговорный язык, но все-таки несет черты обычного языка. Как разговорному языку, так и языку математики мы учимся, не имея полной системы правил. Кстати, тот язык, на котором сейчас говорит большая часть математики, называется «языком наивной теории множеств».
Античная математика (насколько известно автору данной книги) сравнительно мало страдала от логических противоречий. В новое время — с расширением предмета математики — противоречия становятся настоящим бичом. В XVIII в. лишь люди высокого ума, как Эйлер или Д’Аламбер, могли без больших ошибок обращаться с понятиями и формулами математического анализа. (Рассказывают, что когда ученики стали жаловаться Д’Аламберу на то, что из-за недостаточной строгости они теряют всякую уверенность в новой математике, он отвечал им так: «Идите вперед, уверенность появится».) Лишь теория пределов Коши сделала математический анализ доступным для массового изучения, в том числе в технических вузах. (Люди высокого ума тоже выиграли: им не нужно думать об элементарном анализе и можно обратить свой ум к более достойным предметам.) С возникновением в XIX в. теории множеств возникли и новые противоречия.
Попытки изгнать эти противоречия, ограничив (но не чрезмерно) предмет или методы рассуждений математики, к удовлетворительному успеху не привели. В математике удержался язык наивной теории множеств, дополненный некоторыми запретами типа запрещения говорить о множестве всех множеств либо о «множестве, для задания которого требуется не более 100 слов русского языка». Непротиворечивость допущенных в математику рассуждений является не более, чем экспериментальным фактом. В сомнительных случаях понятие математически приемлемого основано на том, что многие весьма остроумные люди, нарочно пытаясь скомпрометировать те или иные объекты или методы, приведя их к противоречию, так и не преуспели в этом занятии.
Высказанное выше утверждение о существовании счетноаддитивной меры Р надо, например в случае Q=[0, 1], понимать следующим образом. Конечно, поскольку отрезок [0, П есть теоретико-множественное объединение его отдельных точек, было бы хорошо, если бы его мера (в частном случае — длина), а также мера его подмножеств складывались бы из мер отдельных точек. Однако мысленные опыты показывают,
55
что это совершенно невозможно. Поэтому будем понимать длину отрезка [0, 1] и меньших отрезков так, как ее понимал Архимед. При этом множества, являющиеся конечными объединениями отрезков (или интервалов), также получают длину (как было совершенно ясно и Архимеду), и длина оказывается конечно-аддитивной функцией таких множеств. Оказывается, что, отправляясь от древнего понятия длины отрезка, можно путем математически строгой процедуры (строгой в смысле вышеописанного экспериментального понятия строгости) определить длину гораздо более сложных множеств. Эта длина (называемая мерой Лебега) будет счетно-аддитивной функцией множества.
Конечно, математики должны были как-то поисследовать понятие меры Лебега: например, все ли множества имеют меру (измеримы). Оказывается, что можно привести пример неизмеримого множества (удобнее это делать ие на отрезке (О, 1], а на окружности длины 1). Рассмотрим этот пример, чтобы понять, какими способами рассуждений нужно здесь воспользоваться. Разобьем единичную окружность на классы рациональности Fa: две точки хну входят в один класс Fa, если длина (любой) дуги, соединяющей точки хну, рациональна. Возьмем из каждого Fa ровно по одной точке и составим из них множество М. Утверждение: множество М неизмеримо по Лебегу. Действительно, поскольку мера Лебега строится с помощью некоторых длин покрытий, мера любого множества должна быть инвариантной относительно поворотов окружности 0* на любой угол (измеряемый дугой г). При рациональном г=т множества М и 0ТМ не пересекаются, так как иначе в множестве М нашлись бы две точки, отличающиеся на рациональное число, т. е. взятые из одного и того же класса Fa. Объединение 0rAf по всем рациональным г дает всю окружность (так как каждая точка окружности входит в некоторый класс Fa и, следовательно, отличается на рациональное число от той единственной точки Fa, которая входит в М). Таким образом, мера l(QrM) =/(М) не может ни равняться нулю (тогда множества 0,М не могли бы в сумме дать окружность), ни отличаться от нуля (тогда объединение 0ГМ имело бы бесконечную меру). Остается принять, что множество М неизмеримо.
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed