Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
Если первая часть (модель случайных величин) в настоящее время уточняется (нужно сказать, в каком ансамбле экспериментов рассматриваются случайные величины), оспари-
40
вается, а иногда и отвергается, то вторая (математическая) часть есть твердо установленный факт. Первоначально (Лаплас, Пуассон) закон больших чисел выводился из более' сложной центральной предельной теоремы теории вероятностей. Впоследствии П. Л. Чебышев нашел элементарное и более общее доказательство, с которым мы и познакомимся. (В оригинальном изложении Чебышева также присутствуют' длинные вычисления, с нашей точки зрения совершенно ненужные. Следует иметь в виду, что когда в учебнике сказано, что излагаются результаты того или иного ученого, на самом деле речь всегда идет о некоторой коллективной переработке оригинального изложения, делающей его несравненно более удобопонятным. Можно сравнить, например, изложение электродинамики в трактате Максвелла или лекциях Больцмана с современными нам учебниками.)
Неравенство Чебышева. Мы говорили, что дисперсия случайной величины ? измеряет в каком-то смысле возможные' отклонения ? от М?. Этот смысл уточняется неравенством Че* бышева.
Лемма 6. Пусть существует D? и дано число е>0. Тогда
P{l?-M?l>eKD?/e2.
Доказательство. Запишем цепочку равенств и нера?-венств:
D5 - М(| - М5)в = 2 '«I - Ml)* Р {? = а,} >
ci
> S (аг — М|)* Р{? = а,} >
M?l>t
> г» S Р{? = а,} - ** Р (|Е - М?)| >е).
Отсюда вытекает утверждение леммы.
Определение. Говорят, что последовательность случайных величин ?i, ?2...?„, ... сходится к нулю по вероятно-
сти, если для любого е>0
Р{|?п1>е)—»-0 (п —> оо).
Из неравенства Чебышева (лемма 6) вытекает, что для сходимости к нулю по вероятности последовательности {?„— —М?п} достаточно, чтобы D?n —> 0.
Теорема (закон больших чисел в форме Чебышева). Пусть случайные величины ?ь ?2,..., ?„, ...попарно независимы, причем D|,cC<oo. Тогда
гц g« + 6, + ¦ • • +?» Mfa + мб> +...+ с| |0
три п—> оо для любого е>0.
Доказательство. Достаточно установить, что ¦D{(!i+?2+...+6n)/n}-*0. Имеем (в силу леммы 5)
^±Jsj--l.D(E1 + 5e+. . .+5,,)-
i-1
Замечание. Для доказательства закона больших чисел мы применили несложный (но и не тривиальный, поскольку Лаплас и Пуассон его не видели) аппарат, состоящий из неравенства Чебышева и способа вычислять дисперсию суммы ?i + l2+—+!n. Этот аппарат пригоден и для зависимых случайных величин, если, например, предположить, что cov(|„ |/)—*-0 при It—/I—»-оо каким-нибудь таким образом, что D(|, + |2 + ... + |n)/n2—>О.
Комментарий. Таким образом, среднее арифметическое (|i + |2+- + |n)/n из большого числа п случайных величин с вероятностью, сколь угодно близкой к 1, не отличается более, чем на е от неслучайной величины (M|i + M|g+.... ...+М|п)/п. Допустим, что |ь |2, |п — результаты измерений некоторой физической величины в ансамбле однотипных опытов. Тогда естественно предположить, что все величины !ь |п имеют одно и то же распределение вероятностей,
в частности,
М|,=М|2=...=М |„=а, (6)
и получаем, что Р{1 (|i + |2+—+!»)/«—al <е} -И при п—>-оо, т. е. постоянная величина а может быть найдена как среднее арифметическое из результатов наблюдений как угодно точно, лишь бы п было велико. Классики аргументировали, что а и есть истинное значение измеряемой величины. (Их аргументация сводится к тому, что одинаково вероятно наблюдению отклониться от истины на данную величину в положительную и отрицательную сторону, а тогда ГЛЬ=а и есть истина). Получается 'парадоксальный вывод, что можно узнать некую длину с точностью до микрона, пользуясь в качестве измерительного прибора масштабной линейкой. Элементарная ошибка здесь очевидна: измеряя длину 50,1-мм масштабной линейкой, всегда будем получать 50 мм; возникает систематическая ошибка. Более подробное обсуж-
D /ft +М±
42
депне вопросов обработки измерений см. во второй части
книги.
6.5. Элементарная задача из теории игр. Вероятностная постановка задачи приводит к некоторому однозначному анализу ситуации, возникающей в играх двух игроков. Считается. что каждый из игроков имеет конечный набор стратегий, занумерованных числами 1, 2..../ для первого игрока и числами 1, 2....................../ для второго игрока. Пусть при выборе первым
игроком i-й стратегии и при выборе вторым игроком /-й стратегии выигрыш первого игрока составляет а,/ (числа ац считаются известными). Спросив себя, как надо играть (допустим, первому игроку), видим, что не можем ответить на этот воп-рос, так как стратегии первого игрока, которые хороши против одних стратегий второго игрока, могут оказаться плохими против других стратегий, и начинается обсуждение психологических колебаний между разными выборами стратегий в последовательных играх, не ведущее к научному решению вопроса.
Вероятностный подход позволяет в каком-то смысле разрубить этот гордиев узел. Предлагается рандомизировать ситуацию, т. е. при каждом повторении игры выбирать стратегию случайно (в зависимости от исхода случайного эксперимента, производимого тайно от противника). Разгадать выбор стратегии противник принципиально не может. Что же здесь нужно максимизировать?
