Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Тутубалин В.Н. -> "Теория вероятностей и случайных процессов" -> 20

Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.

Тутубалин В.Н. Теория вероятностей и случайных процессов — М.: МГУ, 1992. — 400 c.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка): teoriyaveroyatnosteyisluchaynihprocessov1992.djvu
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 161 >> Следующая

M(a)—V{x^S/Ha}, (2)
равной вероятности отвергнуть гипотезу Н0, если на самом деле верна гипотеза Я„. Функция М(а) называется функцией мощности статистического критерия S.
При а=0
Af (0) =Р{хе5/Я0}
47
есть вероятность напрасно отвергнуть справедливую гипотезу Н0\ она называется еще вероятностью ошибки 1-го рода. При аФ0 имеем
l—M(a) = \—l>{x(=S/Ha)=P{x<?S/Ha),
т. е. величина р(а) = 1— М(а) равна вероятности ошибочно не отвергнуть гипотезу Но, когда на самом деле верна гипотеза На\ она называется вероятностью ошибки 2-го рода.
Хотелось бы вероятности ошибок 1-го и 2-го рода сделать (за счет выбора критерия S) маленькими, в идеале — равными нулю. В практически важных случаях это невозможно, причем если выбирать уровень значимости а (напомним, что ,M(0)==P{jteS///o}^a) поменьше, то и при аф0 обычно М(а) делается меньше: критерий теряет чувствительность к отклонениям а от 0, или, что то же, растет р(а) = 1— М(а). Если же стараться сделать больше М(а) при аф0, то увеличивается и Af(0), т. е. вероятность ошибки 1-го рода. При оценке практических качеств той или иной проверки гипотез и нужно следить за балансом возможных ошибок 1-го и 2-го рода.
Рассмотрим пример. Пусть некий хлебозавод выпускает сладкие булочки с изюмом, причем по государственному стандарту на 1000 булочек полагается 10000 изюмин. Подозреваем, что изюм могут украсть (скорее частично, чем полностью), и хотим это проверить. Для контроля можем купить одну (или несколько) булочку и сосчитать, сколько там изюмин (т. е. речь идет о контроле по готовому изделию). Что в такой задаче могут дать статистические методы?
1. Формулировка статистических гипотез. Есть разные способы перемешивать тесто. Например, можно засыпать изюм в одно место, а помешать в другом (когда же начальство отвернется — выгрести обратно неразмешанный изюм). Мы не сможем охватить такие ситуации и предположим, что перемешивание изюма в тесте происходит равномерно. Выделим в тесте объем, отвечающий купленной нами булочке (он будет составлять 1/1000 от всего объема теста). Организуем теперь схему испытаний: испытаний всего будет п=10000 (по числу изюмин); каждое испытание будет состоять в том, что мы посмотрим (мысленно), попала ли данная изюминка в нашу булочку (успех) или не попала (неудача). Тогда при равномерном перемешивании теста вероятность успеха р= 1/1000. Испытания не вполне независимы: если первые две тысячи испытаний все кончатся успехом, то, пожалуй, в объеме нашей булочки уже не останется места для новых изюмин, так что остальные испытания кончатся неудачами. Но ясно, что такая ситуация практически (при равномерном перемешивании) невозможна. Приближенная независимость испытаний имеется. Поэтому принимаем приближение Пуассона, причем
-48
к=пр= 10
есть среднее число изюмин на одну булочку.
Если же предположить, что доля a, O^a^l, всего изюма украдена, то
>.=X('aJ) = 10(l—a).
Итак, имеется гипотеза Н0 (т. е. а=0), состоящая в том, что ничего не украдено. Эту гипотезу естественно объявить основной. Альтернативные гипотезы имеют вид На. Число изюмнн в купленной нами булочке подчиняется (при верной гипотезе На) закону Пуассона с параметром Х(а) = 10(1—а).
2. Возможные стратегии правоохранительных органов. Предположим, что хлебозаводов много, т. е. правоохранительные органы сталкиваются со статистической ситуацией. Их задача состоит в том, чтобы нарушителей закона выявить и изъять, ни в коем случае не тронув честных лиц и не остановив производства булочек с изюмом.
Первичным материалом являются жалобы покупателей на то, что в булочках нет (или мало) изюма. Можно попытаться встать на крайнюю позицию: как только поступила (допустим, достоверная) жалоба на отсутствие изюма — сажать пекаря. Посмотрим, что из этого получится.
Если никакого воровства нет, то вероятность того, что в наудачу взятой булочке не окажется изюма (х=0), дается формулой
Р{х=0/#о}=е-х<°>=е-10«0,5-10-4.
Вероятность того, что хотя бы в одной из 1000 булочек не окажется изюма, нужно подсчитывать как вероятность суммы событий, т. е. суммировать вероятности событий, вычитать вероятности попарных пересечений и т. д. Оценки показывают, что пересечениями можно пренебречь и принять приближенно сумму вероятностей:
1000-0,5-10—4=0,05.
Таким образом, если предположить, что каждый из 1000 покупателей, купив булочку без изюма, тут же пишет жалобу, то вероятность того, что хоть одиа жалоба будет, есть 0,05. Поэтому вероятность честному пекарю остаться на свободе есть 0,95. Но булки пекутся каждый день, так что вероятность в течение года остаться на свободе равна
(0,95)365« ехр{—0,05 -365}
что весьма близко к нулю. Через год ни одного пекаря не останется на свободе, а производство прекратится.
4-2567 49
Итак, при массовом производстве какое-то количество явного брака всегда неизбежно и не обязательно говорит о недобросовестности .
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed