Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
Наконец, в рамках основных понятий по Колмогорову естественно разрешается вопрос о распределении вероятностей случайной величины.
Определение. Пусть ?=?(<») —случайная величина (со значениями, для разнообразия, в Rn). Положим для борелевского 5=/?"
щ(В) = Р{а): I(а>)€=Я> = Р<1-*(В)}.
Тогда цс — мера, определенная на борелевской о-алгебре в Rn. Эта мера называется распределением вероятностей (или просто распределением) случайной величины |.
Замечание. Свойство
OD
+ Д* + • • •) = 2^
вытекает из того, что ?-I(5i+fi2+-)=?-l(Si)+!-*(B*)+...
в»
(свойство полного прообраза), и счетной аддитивности вероятностной меры Р.
2.3. Интеграл Лебега. Б этой книге было бы трудно напоминать в деталях теорию меры. Впрочем, использование теории меры сводится лишь к тому, чтобы заметить, что (в силу теоремы о продолжении меры) во многих интересных случаях на множестве й элементарных событий можно, в самом деле, определить счетно-аддитивную вероятностную меру Р (используется лишь существование меры, но не сама конструкция продолжения). Что же касается интеграла Лебега, то его конструкция необычайно проста (проще, чем для интеграла Римана) и к тому же будет использоваться в данной книге при построении интеграла по случайной мере. Поэтому напомним эту конструкцию.
Пусть, для начала, ?(а>) — элементарная случайная величина, т. е. случайная величина, принимающая не более чем
счетное число значений аь а2, ...,ап.... Это означает, что
1(о>) можно записать в виде
««) = ? «,/*,(«), (1)
где Ai — измеримые (в силу измеримости ?) подмножества Q. Договоримся считать, что числа а,- в (1) не обязательно различны между собой, но множества Л,- между собой не пересекаются, причем
Л,+ ...+Л„+ ... =Я.
(Если угодно, принимаем (1) с указанными свойствами а; и Ai за определение элементарной случайной величины.)
Определим значение интеграла Лебега следующей формулой:
?6(«)Р(Л«) = ? «*?(*,). (2)
предполагая, что ряд в правой части абсолютно сходится; в противном случае считаем, что интеграла Лебега от | не существует.
(Часто вместо Р(</а>) пишут dP(o>); мы, однако, используем обозначения А. Н. Колмогорова, поскольку в случае общего Q ни о каком дифференциале 4Р(о>) речь не идет.)
Определение (2) формально противоречиво. Дело в том, что представление функции ?(ш), шей, в виде (1) неоднозначно: в формуле (1) сказано то н только то, что имеется
разбиение Q на части Ai, At,..., причем на каждой части At
функция |(ш) принимает постоянное значение а,. Если части Ai подразделить на более мелкие (либо объединить такие At и А/, что a,=a/), получится другое разбиение Q на части,
<64
удовлетворяющее тому же самому условию: окажется, что
(3)
(числа bjв (3) — те же, что числа а* в (1), ио занумерованные, вообще говоря, в другом порядке). Тогда в правой части (2) возннкнет сумма и необходимо дока-
зать, что она равна ^а,Р (At). Между прочим, лишь в этом
доказательстве используется тот факт, что Р есть мера, так как (2) можно было бы написать и не предполагая, что Р есть (счетно-) аддитивная функция множества.
Это доказательство и составляет единственную (небольшую) трудность, которую нужно преодолеть для построения интеграла Лебега.
Преодолевается она следующим образом. Пусть
?(о)) - ^ atIA,(«) = S Vb/H-
Положим Di,=AiBf (возможно, некоторые D,/ пусты); на каждом йц величина |(о>) принимает постоянное значение (если оно не пусто). Следовательно,
&(»)•¦= $4//о1у(м> <4>
(причем в правую часть (4) можно без ущерба включить и пустые Dij с любыми dt/). Рассмотрим преобразования:
Wv) = 2 (Е4/Р(А,)) “ 2 (A/)) -
= S(ai^P(Oiy)) = S(eiP(^A/))“Sa/P(Ai). (5)
Эти преобразования основаны на том, что при фиксиро-ванном i имеем: D,j = А,, следовательно, d,t « а{«|(<о) при шеЛ,, и на том, что ^А/ = М4). Преобразования
рядов (5) законны, если хотя бы один ряд, входящий в формулы (5), сходится абсолютно (а это мы предполо* жили). Таким образом, сумма ^dyP(Z)y). может быть
преобразована к виду ^а«Р(Л{). Переставляя порядок
суммирования, получим, что та же сумма может быть преобразована к виду ^bjP(Bj). Итак,
|а,Р(Л,) = ^6уР(^),
что и требовалось доказать.
Теперь немедленно получим, что для элементарных случайных величин | и 1) имеем
5—2567 65
Д (|(0)) + 7](0)))P(d-) &0))P(rf<D) + ^)PW. (6)
Действительно, если
К®) = 2 а^л^), *,(“) = $
(т. e. !(o>) и ri(o>) являются линейными комбинациями индикаторов одних и тех же множеств Ai), то (6) автоматически получается из определения (2) (в предположении, конечно, абсолютной сходимости). Если же это не так:
