Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Определение 13. Функция / (х) называется кусочно-непрерывно дифференцируемой на [а, Ь\, если / (х) и f'(x) на нем либо непрерывны, либо имеют конечное число точек разрыва первого рода.
1 Фурье Жан Батист Жозеф (1768- 1830) - французский математик.
66
Лемма 2 (лемма Римана). Если функция / (х) является кусочнонепрерывной на [я, Ь\, то
ъ ь
lim \f (x)cosXxdх = lim \ f (x)smXxd x = 0.
a a
Следствие 3. Если функция f (x) кусочно-непрерывна на [-л, л], то коэффициенты ряда Фурье этой функции стремятся к нулю при п —> + со, т.е.
lim a = lim h = 0.
Я Я
л—>00 Л—»со
Теорема 18 (достаточное условие сходимости ряда Фурье). Если функция /(х) является кусочно-непрерывно дифференцируемой на [- л, л\, то ее ряд Фурье сходится в каждой точке х е [ - л, л ] и для суммы ряда
S (х) выполняются равенства:
1) S (х) = f (х), если -л <х<л и х - точка непрерывности функции
/М;
, г. / ч f (х + 0) + f (х-0)
2) S(х) =------------------, если -л <х<л и х - точка разрыва
функции / (х);
3) s(-^) = sW=^<=?+о^Л?-о)^
Замечание 2. 1. Поскольку члены ряда Фурье являются 2л
периодическими функциями, то при выполнении условий теоремы 18 ряд Фурье сходится на всей оси R .
2. Если функция / (х) сама является 2л периодической и удовлетворяет условиям теоремы 18, то заключение этой теоремы справедливо не только на [-л, л], но и всюду на R. Если функция f (х) задана и за пределами сегмента [-л, л] и является там непериодической, то за пределами [-л, л] функции / (х) и S (х) могут не иметь ничего общего.
3. Отметим, что существуют примеры, показывающие, что одной непрерывности функции f (х) на [-л, л] недостаточно для поточечной сходимости соответствующего ряда Фурье.
Пусть функция <р(х) кусочно-непрерывна на сегменте [-/,/], следовательно, она интегрируема на этом сегменте. Тогда
10 11 I
-1-1 0 0 о
I
= ^[(р(-х) +(p(x)]dх . (24)
о
Если функция ср(х) нечетная, то (р(-х) = -(р(х) ,и если <р(х) четная, то
5*
67
I
| (p (x) d x =
i
2^(p(x)dx, если ^-четная,
о
О, если ^-нечетная.
Отсюда и формул (23) следует, что если функция / (х) четная на [ - л, л], то произведение f (х) sin их является нечетным на [-л-, л-], поэтому Ьп=0 и ряд Фурье четной функции содержит одни лишь косинусы:
а +со
— + X ап C0S Пх’ Х&[~ Л, л],
2 п=1
где
I ж 2 *
ап=— J / (x)cosnxdx = — J /(x)cosnxd x, n = 0,1, 2, ... .
Л ~л Л о
Пусть теперь функция fix) является нечетной на [-л, л]. Тогда произведение / (х)cos пх является нечетным, поэтому Дл=0 при п = 0,1, 2,..., и ряд Фурье нечетной функции содержит одни лишь синусы:
+со
? Ъп sin п х, х е [ - л, л],
Л=1
где
1 * 2 л
Ъп J f (x)sinnxdх = — J f (x)sinnxdх , и = 1, 2, ... .
7t - ж Л О
Изложенная выше теория рядов Фурье легко переносится на функции, заданные на сегменте [-/, /]. Пусть функция / (х) определена на [-/, /].
Введем новую переменную t-лхЦ. Очевидно, если хе[-/,/], то
tel-л, л]. Поэтому новая функция <p(t) =/(Н/л) = f (х) определена на
сегменте [-л, л] и для нее можно написать ряд Фурье. Переходя здесь к
переменной х, получим ряд Фурье для функций, заданных на [-/, /]:
ап V2' ( ЛПХ , . лпхл
— +> я cos-----------+ osin-------
2 trl " I I
где коэффициенты Фурье определяются равенствами :
ап=- Г/(x)cos ЛПХ dx , п-0,1, 2,... , (25)
I , I
-I
Рассмотрим последовательность
Ъп =у J/(x)sin^rfx, п = 1,2, ... .
(26)
п
средних арифметических частичных сумм ряда Фурье. Тогда справедлива следующая
Теорема 19 (теорема Фейера). Пусть / (х) есть 2л - периодическая непрерывная на R функция. Тогда функциональная последовательность (сгп(х)) сходится равномерно к функции /(х) на R.
В качестве приложения теоремы Фейера приведем следующие утверждения, имеющие важные значения в теории приближений.
Теорема 20 (теорема Вейерштрасса). Если / (х) непрерывна на [я, Ъ],
то для любого е>0 существует многочлен Р(х), такой, что при всех
х е [a, b] выполняется неравенство
Следствие 4. Всякая непрерывная на сегменте [а, Ъ] функция является пределом равномерно сходящейся на [a, b] последовательности многочленов.
В самом деле, в силу теоремы Вейерштрасса для еп=1/п—>0 существует последовательность многочленов Р„(х), такая, что |/(х)-Р„(х)|<1/и при всех хе[а,й]. Отсюда уже следует, что
