Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
всех х, удовлетворяющих неравенству | х \ > г , ряд (12) расходится.
При этом промежуток (-г, г) называется интервалом сходимости степенного ряда (12).
Если степенной ряд сходится только в своем центре, то полагают г = 0. Если же степенной ряд сходится при всех х из числовой прямой, то полагают г = + оо. На концах интервала сходимости, т.е. в точках х = -г и х = г, степенной ряд (12) может быть как сходящимся, так и расходящимся. В этих точках степенной ряд надо исследовать дополнительно.
Теорема 13. Если у степенного ряда (12) существует предел (конечный
или бесконечный) lim
к
находится по формуле
a
t+l
a.
= d, то радиус сходимости степенного ряда (12)
1
г = — = lim d к
Ч+l
Доказательство этой теоремы непосредственно следует из признака Даламбера.
Степенной ряд внутри промежутка сходимости обладает следующими свойствами.
Теорема 14. 1) Сумма S(x) степенного ряда (12) на интервале (-г, г) сходимости является непрерывной функцией. 2) Степенной ряд (12) можно почленно интегрировать на любом сегменте [0, х] с (-г, г). Полученный в результате почленного интегрирования степенной ряд
X X +со +СО л
Js(<)*=f(2>.'‘)*=Z rV"'
о о *=о *=о л +1
имеет тот же радиус сходимости, что исходный ряд (12). 3) Степенной ряд (12) на интервале сходимости (-г, г) можно почленно дифференцировать. Ряд, полученный почленным дифференцированием
+со +оо
S'(x) = = Y,akkxk~l,
k=0 k=1
имеет тот же радиус сходимости г, что и исходный ряд (12).
Из утверждения 3) вытекает важное
Следствие 2. Степенной ряд (12) на интервале сходимости (-г, г) можно почленно дифференцировать сколь угодно раз. Ряд, полученный после п - кратного дифференцирования, имеет тот же радиус сходимости г, что и исходный ряд. Значит, сумма степенного ряда на интервале сходимости бесконечно дифференцируема.
Определение 8. Говорят, что функция /(х) в окрестности точки
хо: U (*0 > r) = { х | хо ~ г < х < хо + г) разложена в степенной ряд с центром в
+” ,
точке х0, если существует ряд вида Ylak(x~xо) - сходящийся к функции
к=О
/(х) на интервале (х0 - г , х0 +г), т.е. при всех х е U(x0,r) справедливо равенство
+ 00
/(х) = Т<*к(х~хо) • с4)
к~0
Теорема 15. Если функция /(х) в окрестности ij(x0,r) разложена в степенной ряд (14), то 1) функция f(x) бесконечно дифференцируема в окрестности U(x0,r); 2) коэффициенты ak ряда (14) находятся по формулам
fm(x }
ak=J-~l> k = 0,1, 2, ..., f0)(x0) = f(x0), 0!=1; (15)
k\
3) разложение функции f(x) в степенной ряд (14) единственно. Доказательство. Справедливость утверждения 1) следует из следствия теоремы 14. Далее, дифференцируя равенство (14) к раз, что законно внутри 1КХ),г), получим
/w(x) = k\dk +(& + 1)-к- ... -2-ak+l(x-x0) +
+ (к + 2)(к + 1)- ... -3-ак+2(х-х0)2 + ... .
Полагая здесь х = х0, находим формулы (15). Единственность разложения функции / в степенной ряд (14) уже следует из формул (15).
Заметим, что бесконечная дифференцируемость функции / в окрестности будучи необходимым условием разложимости функции
fix) в степенной ряд с центром в точке х0, не является вместе с тем достаточным. Например, функция
/м=КА'’х*°’
[О, х = О
бесконечно дифференцируема на числовой прямой, причем можно показать, что /w(0) = 0, к = 1,2,... . Тогда степенной ряд
+00 + 00
Zak(x-x0)k = TJ-rr-xk=0 к=0 к=о к!
сходится при всех х е R к нулевой функции, но не к самой функции /(х).
Теорема 16 (достаточное условие разложимости). Если функция /(х) и все ее производные /(t)(x)> к = 1,2,..., по абсолютной величине ограничены в совокупности на интервале (х0 - г, х0 + г) одним и тем же числом М> О, то в окрестности U(-XQ,/") функция /(х) разлагается в степенной ряд
+00 fW(Y л
f(x)=ZJ-TTl(x-x 0)\ (16)
к=о к\
который называется рядом Тейлора функции /(х).
На основании теорем 14 - 16 многие элементарные функции можно разложить в степенной ряд. Например,
лг , х х2 х"
с —1ч-----1----Ь...Н---1-..., X G R (17)
1! 2! п\
хг X5 , x2t-1
