Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Pn(x) - fix) на [а, Ъ].
Пример 8. Разложить функцию /(х) = |х| на промежутке [-/,/] в ряд Фурье.
Решение. Функция / (х) =| х| является четной и непрерывной на [-/, /]. Она также дифференцируема на [-/, /] за исключением точки х = 0, где имеет конечные односторонние производные. Следовательно, функция /(х) = |х| удовлетворяет на [-/, /] условиям теоремы 18, поэтому ее можно разложить в ряд Фурье с периодом 21. Тогда на основании формул (25) и (26) вычислим ап и bn\ Ьп= 0 при п = 1,2,..., так как произведение |x|sin?zx является нечетным на [-/, /] :
f(x)-P(x)<e.
и-х,
плх
du = d х
do = cos
dx, о =----------sin —
П7Г I
I . П7Т X
2 / . ПЯХ
------xsm-------
l пя I
ПЯ
f • '
J sm-
ПЯХ
I
ПЯ ПЯ
l П7ГХ
—cos--------
/
21
(fl7r)2
2 V 2x2
n = — \xa x = —
I I
[НГ-1] /
/1 = 1, 2,...,
= /.
Тогда ряд Фурье (24) функции /(x) = |x| имеет вид
1
л 1 4/V
-COS
{2к-\)ях
(27)
2 я2 tt(2k-\)2 I
Поскольку функция f (х) = | х| непрерывна всюду на [-/, /], то в силу теоремы
18 сумма S (х) ряда (27) совпадает с |х| на [-/,/], а за пределами этого сегмента не имеет ничего общего с ней (рис. 7).
Рис. 7
Теорема 21 (достаточное условие равномерной сходимости). Если функция /(х) непрерывна на [-я, я], имеет там кусочно-непрерывную производную и / (-л) = f(n), то ряд Фурье этой функции сходится абсолютно и равномерно к f (х) на [ - я, я ].
Теорема 22 (о связи гладкости функции со скоростью сходимости ряда и убывания его коэффициентов). Пусть функция /(х) имеет на [-я, я] непрерывные производные до порядка ?-1 включительно и кусочнонепрерывную производную к-го порядка (к>\), причем /{,)(-я) = /0)(я) при i = 0,1,к-1. Тогда ряд Фурье функции / равномерно и абсолютно сходится к самой функции /(х) на [-я, я] и справедливы оценки:
!/(*)-?„(*)! ^ Ч&7Г- хе[-я,я],
п
сс„
к-1/2 Д.
d I < —— \h < —2- fl = 1 2 n n
+CO +CO
где sn > 0 и sn —> 0; числовые ряды ^ ос2 и ^ /3] сходятся;
Л=1 /1=1
Sn(x) - п-я частичная сумма ряда Фурье функции /; ап и Ъп -коэффициенты этого ряда.
5. Ортогональные системы функций. Пусть Е - множество всех кусочно-непрерывных на сегменте [a,b\ функций. Элементы этого множества можно складывать и умножать на число. В результате этих операций снова получаются элементы (кусочно-непрерывные функции) множества Е. Для любых функций / и g из Е определим скалярное произведение по формуле
Скалярное произведение (28) обладает следующими свойствами. Для любых функций /, g, h из Е и любого Я е R справедливы равенства :
называется нормой элемента / е Е .
Нетрудно проверить, что норма, определенная по формуле (29), удовлетворяет следующим условиям. Для любых /, g е Е и любого Я е R :
Расстоянием между функциями / и g называется неотрицательное
число
Величина (30) называется среднеквадратическим отклонением функции f (х) от функции g(x) на сегменте [a,b\.
Заметим, что если расстояние || f-g || = 0, то значения функций f v\ g отличаются на [a, Ь\ самое большее в конечном числе точек. Поэтому на множестве Е удобно ввести следующее отношение эквивалентности (отождествления): кусочно-непрерывные функции f (х) и g(x) эквивалентны, т.е. f (х) = g(x) на [a,b\, если их значения отличаются лишь на конечном числе точек сегмента [a,b\. Эквивалентность на [а, Ь\ функций / и g обозначается / ~ g на [а, Ь\. После этого
Полученное таким образом множество Е кусочно-непрерывных на [а,Ь\
ь
(/» S)= \f (x)g(x)dx
(28)
а
1° (/,*) = (*,Л;
з0 (f+h,g)=(f,g) + (h,g).
2°(Af,g) = A(f,g)-, 4° (/,/)> 0.
Элементы / и g из Е называют ортогональными, если (f,g) = 0. Неотрицательное число
(29)
а)||Я|>0; б) || Я/ || = Щ || / ||; в) ||/ + g||<||/|| + ||g||.
(30)
\\f\\= =0 <=> /(х)~0на [а,Ь].
функций с расстоянием (30) называют линейным нормированным пространством или просто пространством кусочно-непрерывных функций и обозначают символом Q[a,b]. Из свойств скалярного произведения следует
справедливость неравенства
(/,*)2?(/,Л-(*,*) = 11/11211*112-
Отсюда
К/, <?)1 ^ II / II н^н
или в интегральной форме
ь Гь Гь
Jl/(*)s(*)l<fr^ J \f2{x)dx Jg2(x)dx. (31)
а 1 й К й
Неравенство (31) называют неравенством Коши - Буняковского1. Определение 15. Последовательность {<рк(х)} из Q[a,b] называется ортогональной системой функций на [а, Ь], если
