Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Рассмотрим
II f-Tn\\2=(f-Tn, f-Tn) = (f, /)-2(/,Г„) + (Г„,Г„) =
= II / II2 ~2(/> it ak9k 1 + fs akcpk,± am(Pn\ =
V k=1 ) Vi=l m=l )
= II / II2 ~2S ak(f’ <Pk) + H al\\<Pk II2 = II/II2 ~2Z =
4=1 k=1 4=1 4=1
= II / II2 -E c* +S (с* - a*)2 ^ II / II2 -Z c* ¦
4=1 k=1 4=1
Отсюда
II/-Г, II2 2||/-S, f =11/II2 -icj. (33)
k=\
Теорема 24. Пусть {<pk{x)} - ортонормированная система функций пространства Q[a ,b], ck - коэффициенты ряда Фурье функции
со
f(x)eQ[a,b], Тогда числовой ряд ^ с2к сходится и имеет место
к=1
неравенство Бесселя
Zcl < || / ||2 = J f(x)dx.
к=1
Доказательство. Из (33) следует, что при любом n е N
и ^ii/ii2-*=1
Переходя здесь к пределу при п —> со, получим неравенство Бесселя.
+ 00
Следствие 5. Из сходимости ряда ^ с* следует, что ск —> 0 при
*=i
& —»+со.
§ 12. Кривые в пространстве. Длина кривой
Определение^ Множество L точек (x,y,z) трехмерного евклидового
пространства R3, координаты которых заданы как непрерывные функции:
x = x(t), y = y(t), z = z(t), a<t<b, (1)
называется непрерывной кривой, при этом аргумент t называется параметром, т.е. образ отрезка [а, 6] при непрерывном отображении (1) называется непрерывной кривой в пространстве.
Пример 1. Отображения, задаваемые равенствами x = cost, y = sint , z = 0,0<t<27r
и
х = cos 2t, у = sin 2t, z = 0, 0 < t < 2л определяют различные кривые, хотя образами отрезка [0, 2л] в обоих случаях будет окружность: х2 + у2 =1, z = 0. При изменении параметра t от 0 до 2л соответствующая точка М (() в первом случае данную окружность описывает один раз, а во втором случае два раза.
Пусть М =M(t) = (x(t),y(t),z(t)) - точка кривой L, т.е. M&L.
Координаты точки М можно рассматривать и как координаты радиус-вектора ОМ = r{t) (рис. 8): ОМ -r{t) = [x{t),y{t),z{t)).
Z
Рис. 8
(2)
где r=(x,y,z) - радиус-вектор точки; r(t) = (x(t),y(t),z(t)) - непрерывная на отрезке [а, Ь] вектор-функция. Следовательно, кривую L можно задать тремя скалярными равенствами (1) или одним векторным равенством (2).
Приведенное выше определение непрерывной кривой не является достаточно гибким и нуждается в некотором уточнении. Если принять за параметр t время, то уравнения (1) определяют закон движения материальной точки M(t), а множество L = {M{t) \a<t <b} можно рассматривать как след
(путь) точки, движущейся по закону (1).
В общем случае закон движения может быть очень сложным, например, существуют непрерывные на [а, Ь] функции (1) такие, что соответствующая точка M(t) пройдет через каждую точку некоторого куба (кривые Пеано). Для того чтобы множество L точек (х, у, z), задаваемых уравнениями (1), соответствовало интуитивным представлениям о кривой, потребуем, чтобы разным значениям параметра t соответствовали разные точки M(t) на кривой
L, то есть из условия tx^t2 следовало бы М{tx ) Ф М(t2 ). Это условие исключает возможность самопересечения кривой.
Определение 2. Точка M{tx) кривой L называется точкой самопересечения (кратной точкой), если существует число t2 е [а, Ь] такое, что t2^tx и M(t2) = M{tx) или r(t2) = r{tx).
Будем считать, что точка M{t2)eL следует за точкой M(tx)eL, если
a <tx <t2 <b . Введенное правило следования точек устанавливает порядок на
множестве L , тем самым задает ориентацию кривой L . Точки М(а) и М(Ь)
кривой L, соответствующие значениям а и Ъ параметра t, называют начальной и конечной точками (рис. 8).
Если М(а) = M(b) (или г(а) = г(Ь)), то кривую L называют замкнутой,
в противном случае разомкнутой.
Определение 3. Кривая без точек самопересечения называется простой. Замкнутую кривую, не имеющую точек самопересечения, отличных от концевых точек М(а) и М(Ь), называют простым контуром.
Одна и та же кривая L может быть задана различными способами, т.е. с разными параметрами. Пусть г = r(t) (a <t <b) и p = р(т) (a <т < /?) -непрерывные отображения отрезков [а, Ь\ и [а, /?] соответственно в
пространство R3. Пусть существует непрерывная строго монотонная функция t = <p(r), а<т</3, отображающая отрезок [ос,/3] на отрезок [а, Ь], такая, что
