Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Я=1
Отметим, что если ряд сходится абсолютно, то любой ряд, полученный перестановкой его членов, также сходится абсолютно и имеет ту же сумму. Условно сходящиеся числовые ряды таким свойством не обладают.
2. Функциональные последовательности и ряды. Последовательность
(/„), членами которой являются функции fn(x), определенные на множестве Ici?, называется функциональной. Если в функциональной последовательности (/„(*)) зафиксировать х = х0 е X , то получим числовую последовательность (f„(x0)). Таким образом, последовательность (/„(*)) представляет собой множество числовых последовательностей, каждая из которых получается при том или ином значении х из X .
Определение 3. Функциональная последовательность (/„(*))
называется сходящейся в точке х0 е X, если сходится числовая последовательность (fn(x0)), т.е. существует конечный предел lim fn(xо). При этом точка х0 называется точкой сходимости
П—>+оо
функциональной последовательности (/„) ¦ Функциональная последовательность (fn (х)) называется расходящейся в точке х0 е X, если расходится числовая последовательность (/„ (х0)).
Определение 4. Функциональная последовательность (/„(*))
называется сходящейся на множестве X, если она сходится в каждой точке х е X. В этом случае для каждого хе X существует конечный предел lim fn (х) и этот предел на множестве X определяет функцию /(х),
П
которую называют предельной функцией последовательности (f„(x)).
Тогда говорят, что последовательность (/и) сходится к предельной
функции f поточечно на множестве X и пишут : fn (х) —» f(x) на X.
По-другому, /„(*)—» /00 на X означает, что для любого ?>0 и любого хе X существует натуральное число п0 = п0(е, х) , зависящее от ? и выбора х из X, такое, что для всех п> п0 выполняется неравенство
|/,(*)-/(*) |<* •
Пример 3. Пусть задана функциональная последовательность
I ' 1
fn(x) = Jx +— , хе X = R. Найти предельную функцию.
V п
Решение. При произвольном фиксированном xeR вычислим предел
/(х) = lim fn (х) = lim Jx2 + — = Jx2 - \x I.
«—>+oo /I—>+oo \ fl
Значит, предельной является функция f(x) = \x\, определенная и непрерывная на всей числовой прямой R .
Пример 4. Пусть fn (х) = х”, х е [ 0, 1 ]. Тогда
Го, 0<х< 1,
/О) = lim /„ О) = lim хп = ]
л->+ю Х = \.
В этом случае предельная функция разрывна в точке х = 1 е [ 0,1 ].
Пусть (м„(х)) - функциональная последовательность, заданная на множестве X. Тогда ряд вида
+оо
2Х(Х) = их(х) + и2(х)+ ... +ип(х)+ ... (6)
И=1
называется функциональным рядом, заданным на множестве X.
Определение 5. Функциональный ряд (6) называется сходящимся на множестве X к своей сумме S(x), если последовательность его частичных
сумм (Sn(х)), где Sn(x) = их(х) + и2(х) + ... + ип(х), сходится к S(x) на
множестве X.
Итак, сумма ряда (6) есть предел:
+со
2Х(Х) = S(x) = lim хеХ.
n=l л^+”
Пример 5. Исследовать на сходимость функциональный ряд
2 ,.2 ,,2
2
»?o^I7?r=*+T77+-+J^77+-- (7)
Решение. Найдем ?„(*) при любом фиксированном xeR и
S„{x) = x2 Отсюда
2 \ я
1 + X (1 + X )
1-q 1 + х
Итак,
x = 0.
Как видим из данного примера, несмотря на то, что все члены функционального ряда (7) непрерывные на R функции и ряд сам сходится при всех х из R, но его сумма S(x) является разрывной функцией на R, т.е. в
точке * = 0 функция 5(;с) терпит разрыв.
Таким образом,
lim S(x)*S (х0) = 2X0о)
или
lim X ип О) lim ип (х),
*-«о п=х и=1 х~**°
т.е. предел суммы бесконечного числа слагаемых не всегда равен бесконечной сумме их пределов, поэтому возникает вопрос, при каких условиях предельная функция /(х) последовательности (fn (х)) и сумма S (х) ряда (6) будут
непрерывными функциями на множествах сходимости. Для этого оказывается надо ввести новый вид сходимости функциональной последовательности и функционального ряда.
Определеннее. Функциональная последовательность (/„(*)) называется равномерно сходящейся на множестве X к функции /(х), если для любого ?>0 существует номер n0~n0(e), зависящий от е и не зависящий от х, такой, что для всех п> п0 и при любом хе X выполняется неравенство
В этом случае пишут : fn (x) it /(х) на X.
Определение 7. Функциональный ряд (6) называется равномерно сходящимся на множестве X к функции S{x), если последовательность его
частичных сумм (Sn(xj) равномерно сходится к S(x) на множестве X.
