Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
t' (s) = — = —^— > 0 при 0 <s <1 = mb . ds s'(t)
Уравнение
r=r(t(s)), 0 <s<l, (7)
определяет ту же самую кривую L, так как точка t = t(s) пробегает отрезок [а, Ь\ , когда 5 пробегает отрезок [0, /].
Уравнение (7) называется натуральным уравнением кривой L , а параметр s, определяемый формулой (6), называется натуральным параметром.
Теорема 4. Если параметром гладкой кривой L является переменная длина ее дуги s, то
dr
ds
= 1, — = (cosar, cos/?, cosy), ds
где а, (3 и у - углы, образованные вектором касательной drf ds к кривой L с осями координат Ох, Оу и Oz соответственно.
Пусть L - гладкая кривая, заданная натуральным уравнением г - r(s) , О <s <1. Тогда в силу теорем 1 и 4 вектор t(s) = dr/ds является единичным вектором касательной к кривой L. Пусть вектор-функция F(s) имеет непрерывную производную, тогда непрерывная функция
k{s) =
dr d2r
ds ds2
(8)
называется кривизной кривой L .
Кривая L является отрезком тогда и только тогда, когда кривизна k(s) = 0.
Теорема 5. Кривизна к дважды дифференцируемой кривой L, заданной уравнением r-r(t), a<t<b, не имеющей особых точек, определяется формулой
I[?'(*), r\t)]\
к =
1?'(013
где [ r'(t), г” (7)] - векторное произведение.
Если г (t) = (.x(t),y(t),z(t)), то формула (9) принимает вид
(9)
к =
/ У 2 I f 2 У 2 ^
Z X
+ +
V У" z" Z" Xя /
1/2
(10)
Если z(t) = 0, т.е. L - плоская кривая, то формула (10) примет более простой вид
I 1 п /ГГ I
ХУ ~УХ
к -
(11)
(х'2+у'У<2 •
В частности, когда плоская кривая L задана явным уравнением y = f(x), a < х < b , то из формулы (11) имеем
V, -
[1 + /,2(jt)]j/! '
Пример 3. Вычислить кривизну винтовой линии, заданной уравнениями:
x = acost, y = asint, z = bt, />0, а>0, a1 +b2 > 0, или в векторной форме
г =r(t) = (acost, a sin/, bt) . (12)
Решение. На основании формулы (6) найдем натуральный параметр
s = J\r'(r)\dT = J у/a2 +b2 dr = yja2 +b2t = ct.
о 0
Подставляя t = s/c в уравнение (12), получим натуральное уравнение винтовой линии
s . s Ъ ^
Г (5) =
flcos—, asm — , —s с с с j
Отсюда вычислим
d г _ 1 f d s с
s s
-a sin—, a cos—, b с
с
Тогда из формулы (8) находим кривизну
d2r 1
d2r 1 ( с s ^
— йcos—, -asin —, О
Vs С J
ds2 с2
k(s) =
ds2
Таким образом, кривизна винтовой линии постоянна. Отметим, что из винтовой линии при а- 0 получается прямая линия, т.е. k(s) = 0, а при b = О
-окружность радиуса а, кривизна которой равна 1/а.
§ 13. Функции многих переменных
1. Пространство R". До сих пор мы изучали функции одной независимой переменной. На практике часто возникают случаи, когда какая-нибудь величина зависит от двух или большего числа независимых переменных. Например, площадь S прямоугольника является функцией двух независимо друг от друга изменяющихся переменных - длин сторон прямоугольника а и b . Эта функция задается равенством : S = а b .
Объем V прямоугольного параллелепипеда есть функция трех независимо друг от друга изменяющихся величин - длин ребер параллелепипеда a,b,c: V = abc.
Работа А постоянного электрического тока на участке цепи зависит от разности потенциалов U на концах участка, силы тока / и времени t. Эта функциональная зависимость задается формулой: А = IUt.
Прежде чем перейти к изучению функций многих переменных рассмотрим множества, на которых эти функции задаются.
Пусть на рассматриваемой плоскости или в пространстве задана прямоугольная система декартовых координат. Точки плоскости или пространства часто будем обозначать буквами а, Ь, с,х, у, z,..., а их координаты - теми же буквами с индексами, т.е. в случае плоскости будем писать: х = (х1,х2), у = (у1,у2)- я = (а15а2), а в случае пространства -х = (х],х2,хъ), у = (у1,у2,уз), а = (а1,а2,аъ).
Расстояние между точками х и у будем обозначать символом р(х,у).
6 — 5026
81
Как известно, расстояние между точками х и у определяется по формуле
Р (*, У) = V (л - У1)1 + 02 - У if в случае плоскости, а в случае пространства
Р (х, y) = J(JC, - У, У + (х2 - у2 )2 + (х3 - у3)2 .
