Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
sinx — х------1------b... + (—1)---------------к.., x g R \ (18)
3! 5! {2k-l)\
x2 r4 x2k
cosx = l------1--К.. + (-1)*------1-..., x g R ; (19)
2! 4! (2k)\
2 k
ln(l + x) = x- —+ ... + (-1)*"’ —+ ..., -1 < x < 1;
2 k
(1 + x) =l + Y, ---------- ----------- x , — 1 < x < 1, aeR.
k=i k\
В самом деле, пусть h > 0 - любое действительное число. На промежутке (-h,h) производные п - го порядка функций ех, sinx и cosx ограничены:
(ех)
х\(п)
=е-е <е
sin (х + п—) 2
< 1; I (cos х)(п) I =
cos (х + fl—) 2
(sinx)^ (cos х)(п)
п
x-0 = Sin п- =
Х=0
при любом п = 0, 1, 2,... . Тогда указанные функции на основании теоремы 16 можно разложить в ряд Тейлора (16) с центром в точке х0=0. Вычисляя соответственно коэффициенты
О, п = 2к,
(-1)*-1, п = 2к-1,
О , п = 2к +1,
(-1)*, п = 2к
и подставляя их в (15), получим разложения (17) - (19), которые верны при всех х е (-h, К). Поскольку h - любое положительное действительное число, то
разложения (17) - (19) справедливы при всех xeR.
Эти и другие разложения находят широкое применение в вычислительной математике при вычислении значений элементарных функций, определенных интегралов, замечательных постоянных е и п, получении асимптотических оценок поведения функции в окрестности изучаемой точки и других вопросах.
4. Тригонометрические ряды. В физике и технике часто приходится иметь дело с периодическими явлениями. Например, колебательным и вращательным движением различных деталей машин и приборов, периодическим движением небесных тел, акустическими и электромагнитными колебаниями. На языке математики все такие процессы описываются периодическими функциями. Простейшими периодическими функциями, как известно, являются тригонометрические функции sinx и cosx с основным
периодом Т = 2п. В физике простейшей периодической функцией обычно считают «гармонику» или «гармоническое колебание» :
A sin (со t + ср) = a cos со t + b sin со t.
При этом А, со и (р называются соответственно амплитудой, частотой и
начальной фазой гармоники. Одним из основных вопросов теории тригонометрических рядов является вопрос о представлении заданной функции в виде бесконечной суммы гармоник, т.е. о разложении функции в ряд по простейшим тригонометрическим функциям cosnx и sinnx, п-0,1, 2,... . Определение 9. Функциональный ряд вида
о. +с0
“+ X an cosnx + bn sinnx, (20)
где ап
К -
2 л=1
заданные действительные
числа, называется
тригонометрическим рядом, при этом числа а0, ап и Ьп - коэффициентами тригонометрического ряда.
5 — 5026
65
является периодической функцией с периодом 2л . Заметим, что частичные суммы ряда (20) представляют собой линейные комбинации функций, входящих в следующую систему:
1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, cosnx, sinnx.......... (21)
Определение 10. Система функций вида (21) называется тригонометрической системой.
Лемма 1. Тригонометрическая система (21) на сегменте [-л, л] обладает свойством ортогональности, т.е.
К Л
J cosnx-cosmxd х = 0, J sinnxsinmxd х = 0, пФт\
-Л -Л
Л
J cosnx sinmxdх = 0 , п, т = 0, 1, 2,...;
-Л
Л Л
J cos2 nxdx= J sin2 nxdx =л , n =1, 2, ... .
-К -Л
Для доказательства этих равенств достаточно воспользоваться формулами перехода от произведения к сумме тригонометрических функций.
Теорема 17. Пусть тригонометрический ряд (20) сходится на [-л, л] к функции / (х), т.е.
а +с0
/(х) = — + X (a„ cosnx + bn sinnx), (22)
2 л=1
и пусть тригонометрический ряд, стоящий в правой части равенства (22), сходится равномерно на [-л, л]. Тогда коэффициенты an и Ьп определяются формулами:
1 *
an =— J/(x)cosnxdх, n = 0,1, 2,... ;
—jt
(23)
1 *
bn=— J/(x)sinnxdx , n = 1, 2, ... .
Определение 11. Тригонометрический ряд (20), коэффициенты которого определяются по формулам (23), называется тригонометрическим рядом Фурье, или простым рядом Фурье1 функции / (х).
Определение 12. Функция / (х) называется кусочно-непрерывной на сегменте [a,b], если она на нем либо непрерывна, либо имеет конечное число точек разрыва первого рода.
