Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 35

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 283 >> Следующая

г(<р(т)) = р(т), а <т < Р.
Тогда будем считать, что равенства г = r(t) и р = р(т) определяют одну и ту же непрерывную кривую, отнесенную к различным параметрам /иг. При этом отображения r{t) и р(т) называются эквивалентными. Функция <р(т) называется отображением, осуществляющим эквивалентность отображений r(t) и р(т). Понятие эквивалентности отображений r(t) отрезков [а, Ь] в R3 обладает тремя свойствами: рефлексивностью, симметричностью и
транзитивностью, т.е. является отношением эквивалентности. Следовательно, множеству {r(t)\a<t<b} всех непрерывных эквивалентных отображений
r(t) отрезков \а, Ь] в пространство R3 ставится в соответствие непрерывная
кривая L и она называется параметризуемой. Каждое из указанных отображений называется представлением этой кривой от определенного параметра.
Пример2. Равенства х = t, y = t2, z = t3, 0</<lnx = tgr, y = tg2 т, z = tg3r, 0<т <тг/4, определяют одну и ту же кривую. В данном случае t = <p(T) = tgT - строго возрастающая на [0, л]А\ функция.
Пусть кривая L задана уравнением (2), где г (/) - вектор-функция дифференцируема в точке t0 е [а, Ь\, т.е. при / = t0 существует конечная производная r'(t0) = (x'(t0), y'(t0), z’(t0)) .
Теорема 1. Если r'(t0) фО , mo существует касательная к кривой L в точке M(tQ) и уравнение этой касательной в векторной форме имеет вид
г =r{t0) + r\t0)T, г € R .
В координатной форме это уравнение записывается в виде
x = x(t0) + x'(t0)T, y = y(t0) + y'(t0)T, z = z(t0) + z\t0)T.
Определение 4. Если r'(t0)& 0, mo соответствующая точка М (tQ) кривой L называется неособой; если же rf(t0) = 0, то точка М(t0) называется особой.
Из определения 4 и теоремы 1 следует, что во всякой неособой точке кривой L существует касательная и r'(t0) является вектором касательной к
кривой L в точке М (t0) .
Если функция r\t) непрерывна на отрезке [а,Ь\, то кривая L называется непрерывно дифференцируемой.
Определение 5. Кривая L называется гладкой, если она непрерывно дифференцируема и не имеет особых точек.
Если кривая составлена из конечного числа гладких кривых (дуг), то такую кривую называют кусочно-гладкой.
Пусть кривая L задана векторным уравнением (2) и пусть
Т = {a=t0 <tx <¦¦-< tt_x <t[ ¦¦¦ <tn = b) - разбиение отрезка [a,b\.
Рассмотрим вписанную в кривую L ломаную с вершинами r(t0), г (tx), ...,
r(tn). Длина этой ломаной равна
<(Г) = ? №)-?(',-,) I-
i=l
Пусть А(Т’) - диаметр Т разбиения сегмента [a,b\, т.е.
Л (Г) = max A tt = max (tt - t._x).
i i
Определение 6. Неотрицательное число 1 называется длиной (мерой) кривой L, если для произвольного s > 0 найдется число S = S(s)> 0, такое, что для любого Т разбиения [а, Ь] с диаметром Л{Т)<8 выполняется неравенство \ I (Г) - /1 < s.
В этом случае записывают, что
wZ = /= lim l(T)= lim VI i)|.
Л(Т)—>0 v ' Л(7-)->0 j-f' v 1
Кривая L , имеющая конечную длину, называется спрямляемой.
Теорема 2. Если кривая L, заданная уравнением (2), непрерывно дифференцируема, то она спрямляема и ее длина вычисляется по формуле
ь ь ______
/ = J I г'(01 dt = Ух'2 (0 + У2 (0 + z'2(t) dt. (3)
a a
Замечание. Для плоской кривой x = x(t), y = y(t)' z = 0, a<t<b, формула (3) принимает вид
ь
I = jV*'2(0 + /2(0 dt. (4)
a
Если плоская кривая задана явным уравнением у = / (х) , а<х<Ь,то формула (4) приобретает еще более простой вид
/ = j\/l + f'2(x) . a
Если плоская кривая задана полярным уравнением г = г(в), а<в<Р,
то
Р
1= уг2(0) +г'2 (0)d0.
Для получения данной формулы в (4) надо перейти к полярным координатам х = г{в) cos в и у = г {в) sin в .
Теорема 3. Пусть кривая L, заданная уравнением (2), непрерывно дифференцируема и пусть s(t) - длина той части кривой L, которая соответствует изменению параметра от а до t. Тогда для любого t е [а, b] существует s'(t) и
s'(t) = | r'(t) I = ^x'2{t) + y'2{t) + z'2(t) ; (5)
ds = s'(t)dt = ^(dx)2 + (dy)2 + (dz)2 .
В равенстве (5) заменяя t на т и интегрируя полученное равенство по т от а до t, получим
t
s(t)= J| r{r)\dT, a<t<b. (6)
a
Пусть кривая L, заданная уравнением (2), является гладкой. Тогда функция r'{t) непрерывна на [a,b], r'(t)*0 и поэтому |г'(г)|>0. Из
равенства (5) следует, что s' (t) > 0 для всех t е [а, Ь\. Следовательно, функция s = s(t) непрерывно дифференцируема и строго возрастает на отрезке [а, Ь\. Поэтому существует обратная функция t = t{s), которая также строго возрастает и имеет непрерывную производную
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed