Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Определение 1. Точкой х п-мерного пространства называется упорядоченная совокупность из п действительных чисел х1,х2,...,хп и
обозначается символом: х = х2,хп). При этом числа
xn i = 1, 2,п, называются координатами точки х.
Расстояние между двумя точками х = (х}, х2,, хп) и
У = (У\,У2> ¦¦¦ >УП) п~ мерного пространства, определяется по формуле
Р (Х’У) = V(*1 - У\ )2 + (х2 - у2 У + - + (хп - У„ У = (X - у,)2 ¦ 0)
Определение 2. Совокупность всех точек п- мерного пространства, для которых расстояние определено по формуле (1), называется п- мерным
арифметическим евклидовым пространством и обозначается через R".
В случае n = 1 пространство /?'=/? совпадает с числовой прямой, в
случае п = 2 - с плоскостью, а в случае п = 3 - с пространством.
Расстояние между точками в пространстве R" обладает следующими свойствами.
1°. р(х,у)> 0 при любых х и у из R" и р(х,у) = 0 только в том случае, когда х = у .
2°. р (х, у) = р (у, х) при любых x,yeRn.
3°. р (х, z) < р (х, у) + р (у, z) при любых x,y,zeRn.
Свойства 1° и 2° непосредственно следуют из (1). Свойство 3°, обычно
называемое «неравенством треугольника» и очевидное для R2 и R3, в общем случае нетривиально, его доказательство опирается на следующие утверждения.
Лемма 1 (неравенство Коши - Буняковского). Для любых действительных чисел ak и bk, к = 1, п, выполняется неравенство
iakbk<j±^2-WbJ. (2)
t=l V *=1 V к=1
Следствие.
(3)
V к=1 V к=1 V к=1
Доказательство. Если все ак= 0, к = \, п, то неравенство (2) всегда
справедливо. Пусть теперь хотя бы один акФ 0 . Тогда а] +а2 + ... + а2 > 0 и
82
рассмотрим вспомогательную квадратичную функцию
F(x) = Z (акх + Ък )2 = х2 X а2к + 2х? акЬк + ?>* • (4)
к=1 *=1 *=1 /1=1
Поскольку F(x)>0, то квадратный трехчлен (4) имеет либо совпадающие действительные корни, либо вовсе не имеет корней, и поэтому его дискриминант не положителен :
ЪаТ-м Ы< о.
\?=1 / Ы\ к=1
Отсюда следует справедливость неравенства (2). Для обоснования неравенства (3) достаточно на основании доказанного неравенства (2) оценить сверху сумму :
?(ак+Ьк)2 =^а2к +2?akbk+]Tbk2 <
к=1 к=1 к=1 /1=1
к=1 V V *=1 *=1 ^ V *=1 V *=1
Извлекая из обеих частей найденной оценки квадратный корень, получим (3).
Пусть теперь х = (хх, х2,хп) , 3' = (j'i,j'2> •••> Уп) и
z = (zp z2, ...,zn). В неравенстве (3) положим, что ак-хк-ук, bk=yk-zk. Тогда ak+bk =xk-zk и
\lL(xk-zk)2 < Шхк~Ук)2 +лХ(Ук~2к)2
I к=1 V *=1 V Л—1
или согласно формуле (1)
p(x,z)<p(x,y) + p(y,z).
На основании введенного понятия расстояния между точками и его свойств можно описать основные типы множеств пространства Rn.
1. Пусть а = (ар а2,ап) е R" и т->0. Множество всех точек
х = (хх, х2, хп) из R", координаты которых удовлетворяют неравенству
/?20, я) = (*, -я,)2 +(х2-а2)2 +... + (хп-ап)2 <г2, называется открытым л-мерным шаром радиуса г с центром в точке а\ следовательно, открытый п- мерный шар радиуса г с центром в точке а есть множество точек х, для каждой из которых расстояние от фиксированной точки а удовлетворяет неравенству р(х,а)<г.
2. Множество всех точек х пространства R", таких, что
р2 (х, а) = О, -а,)2 +(х2 -а2)2 + ... + (*„ -ап)2 < г2, называется замкнутым п - мерным шаром радиуса г с центром в точке а.
3. Множество всех точек х пространства R", таких, что
Р1 (х, а) = О, - а,)2 +(х2 -а2)2 + ... + (*„ -ап)2 = г2,
называется п- мерной сферой радиуса г с центром в точке а.
6* 83
4. Открытый п- мерный шар радиуса г>0 с центром в точке а называют s - окрестностью точки а и обозначают символом U {а, ?), т.е.
U {a, ?) = -^x = (xl,x2,...,xJ\p(x,a) = yjYJ(xi-ai) <sy
5. Множество всех точек х пространства R", координаты х,, х2, ..., хп которых удовлетворяют неравенствам:
\хх-ах\<8х, \x2-a2\<S2, ..., \x„-an\<Sn,
где dv S2, дп - заданные положительные числа, называют открытым л-мерным параллелепипедом с центром в точке а или прямоугольной окрестностью точки а и обозначают символом Р(а; <5,, д2,дп). Итак,
Р(а; Sx, S2,Sn) =
= {х = (.X,, X,,..., xn)l\xl-al\<Sl,\x2-a2\<S2 ,\хп - ап\< Sn}.
Если <5, = б2 -8п - 8 , то P(x,S,S,...,S)-P(x,S) называется л-мерным кубом с центром в точке а со стороной 25.
Справедливо следующее простое утверждение.
Лемма 2. Какова бы ни была ? - окрестность \J (а,?) точки a g R", существует ее прямоугольная окрестность Р(а; <5,, 82,8n) с U {а, ?) и, наоборот, какова бы ни была прямоугольная окрестность P(a; д2,дп) точки а е Rn, существует ее ?- окрестность
