Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 25

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 283 >> Следующая

1) если ряд ? у„ сходится, то ряд ^хп сходится абсолютно;
Я=1 «=1
+00 +00
2) если ряд ? | х„ | расходится, то ряд ? уп также расходится.
Л=1 И=1
Теорема 4 (признак Даламбера1). Если для положительного ряда (1) (an >0) справедливо неравенство
d,="^<q<l (d,>l)
при всех n>n0, n0 e N, где q - постоянное число, то ряд (1) сходится (расходится).
Справедлив признак Даламбера в предельной форме. Если для произвольного ряда (1) существует предел
lim
an+1
= d.
an
тогда ряд (1) при d< 1 сходится абсолютно, а при d> 1 расходится.
Теорема 5 (признак Коши). Если для положительного ряда (1)
справедливо неравенство
an =Ф*~П ^Я<1 (а, ^1)
при всех n>n0, n0 е N, то ряд (1) сходится (расходится).
Справедлив признак Коши в предельной форме. Если для произвольного ряда (1) существует предел
11тл/Т«Л=«’
тогда ряд (1) сходится абсолютно при a < 1, а при a > 1 расходится.
Теорема 6 (интегральный признак сходимости положительных
рядов). Если функция f (х), определенная при всех х > 1, неотрицательна и
монотонно убывает, то числовой ряд
+00 +00
2Х =?/(«)
Л=1 Л=1
сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл
+00
jf(x)dx.
1
Пример 2. Исследовать на сходимость обобщенный гармоничный ряд
+00 J
? —, a 6 R . (5)
n=l ft
Решение. Для исследования на сходимость ряда (5) воспользуемся интегральным признаком сходимости. В данном случае f{x) = 1 / xa , х > 1. Эта функция на [1, + оо) положительна, непрерывна и при а >0 убывает. Рассмотрим
+°° fa
интеграл f —, который в силу результатов § 10 (см. пример 2) сходится при a > 1
1
и расходится при a < 1. Тогда на основании теоремы 6 ряд (5) сходится только при a> 1.
Теорема 7 (признак Раабе1). Если для положительного ряда (1) справедливо неравенство
R=n
f \ V an J
>г>1 (Д„<1)
при всех n>n0, n0 е N, где г - постоянное число, то ряд (1) сходится (расходится).
Справедлив также признак Раабе в предельной форме. Если существует конечный или бесконечный предел
г \
Х an+1
lim Rn = lim n
n—>+ oo n—>+ oo
V )
¦Л,
то положительный ряд (1) сходится при Л > 1 и расходится при Л < 1.
+00 +00
Теорема 8. Если ряды ?ал и сходятся соответственно к числам
Л=1 И=1
А и В, то
+00
1) их алгебраическая сумма ?(an ±bn) сходится и справедливо
Л = 1
равенство
+00 + 00 +00
Л(ая±Ья) = А±В= YK ;
П=1 П=1 Я=1
+00 +оо +00
2) сходится ряд ?can, где с eR, причем ?can = с^ап;
я=1 Я=1 п=1
3) ряд ?с„, являющийся их произведением:
И=1
сл = ахЬх + (ахЬ2 + а2Ъх) +... + (афп + а2Ь„_, +... + а„Ь,),
1 Раабе Иозеф Людвиг (1801 - 1859) - швейцарский математик. 54
сходится к числу С = АВ, если один из рядов сходится абсолютно; если при +00 +00 +00
этом оба ряда и ^Ьп сходятся абсолютно, то их произведение ?ся
п=1 п=1 п=1
также сходится абсолютно.
Признак Дирихле - Абеля1. Ряд ? anbn сходится, если выполнено одно
И=1
+00
из следующих условий: 1) последовательность частичных сумм ряда ^Ьп
И=1
ограничена и последовательность (an) монотонно стремится к нулю;
+оо
2) сходится ряд ^Ьп и последовательность (an) монотонна и ограничена.
Я=1
Ряд (1) называется знакочередующимся, если an = (-1 )n lcn, cn > 0.
Признак Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда (1) убывают по абсолютной величине и стремятся к нулю, то такой ряд сходится.
Следствие. Если для знакочередующегося ряда (1) выполнены условия признака Лейбница, то справедливы оценки :
k=n+\
1)0<5 = ^(-1) c„<Cl, 2) I гя | =
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed