Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Г 0, кФт\
ifPk ’ Фт) — ] и и 2 л 7
III <рт II >0, к = т.
Приведем примеры ортогональных систем.
1. Тригонометрическая система функций
ЛХ . ЛХ лпх . лпх
1, cos—-—, sm——, •••, cos—-—, sin—-—
ортогональна на промежутке [-/, /], / > 0.
2. Система (рк (х) = е1кх, к eZ, ортогональна на отрезке [-л, л].
3. Система функций (рк (х) = cos кх, к = 0,1,2,..., образует
ортогональную систему на промежутке [0, л]. На этом же промежутке образуют ортогональную систему и функции <рк(х) = sin кх , к е N.
4. Полиномы Лежандра
Р0 (х) = 1, Р (*) = —¦—[(х2 -1)" ],
0 ' 2 "n'.dx"
где п-1,2,... , ортогональны на [-1,1]. Действительно,
0, кфт\
-1
5. Полиномы Чебышева
1
2 ,
к = т.
2т+ 1
Tk(x) = ^cos(karccosx), к = 0,1,2,... ортогональны с весом r(x) = (1 - х2)~1/2 на промежутке [-1,1], так как
1 Буняковский Виктор Яковлевич (1804 - 1889) - русский математик.
72
1
О, кфт\
п 1
к = т.
22т-х ’
Определение 16. Ортогональная система функций {(рк(х)} из Q[a, b] называется ортонормированной на [а, Ь\, если
ГО, кфт\
{(Pki(Pm) = 5bn=<L ,
[1, к-т.
Любую ортогональную на [а, Ь\ систему функций {(рк(х)} можно сделать ортонормированной. Для этого достаточно каждую функцию срк (х) разделить на ее норму:
\<Рк(хА 1М IIJ'
В теории ортогональных систем важное значение имеет так называемый процесс ортогонализации Шмидта, позволяющий преобразовать любую последовательность линейно независимых функций в ортонормированную.
Пусть <рк(х), к = \,п - любая система линейно независимых функций из Q[a,b]. Построим ортонормированную систему функций wn(x), т = 1,п,
такую, чтобы wn(x) выражалась линейно через (рх, (рг....... (рт и, наоборот,
чтобы (рк{х) линейно выражалась через ^(х), w2(x), ... , wk(x).
Функция фх(х) отлична тождественно от нуля, так как нуль линейно зависим со всякой системой функций. Тогда норма || <рх || > 0 и положим
?х{х) = (рх{х)\ =
II Vi II
Допустим теперь, что искомые ортонормированные функции wx{x), w2(x), ... , wn_x(x) уже построены. Положим
л-1
V'n(X)=Pn(X)~'ZakWk(X)
к=1
и подберем постоянные ак так, чтобы у/п(х) была ортогональна ко всем w,(х), Щ{х), ...,
п—1 ------
wj) = ((Pn’ wj)~'Lak (wk» wj) = 0- j = i,n-i.
k=1
Поскольку
jO, к* j; k.j.
то из последнего равенства находим ak=(<pn,Wj), к = \,п-\. Функция цгп(х)ф 0, в противном случае <рп(х) линейно выражалась бы через wx, w2, ¦ , а следовательно, и через функции (рх, <р2, ... , срп_х, что невозможно.
Теперь достаточно положить
II Уп II
По построению система wm(x) , т = 1, п, ортонормированная и wm(x) линейно выражается через q>x(x), <р2(х), ¦ ¦¦ , <Рт(х). Обратно, <рк{х) линейно выражается через w,, w2, ... , vvt:
t-i _______________________
<Pt(x) = II ?к II wk(x) + Z (<Рк > wi)wi(x) - * = 1, л ¦
i=i
Определение 17. Пусть {(рп{х)} - ортонормированная система функций пространства Q[a, Ь] и f (х) е. Q[a, Ь]. Тогда ряд вида
+со Ь
Tck<Pk' ck=(f,<pt)=lf(x)<pt(x)dx,
k-l a
называется рядом Фурье функции / по ортонормированной системе функций {(р„(х)} ¦ а числа ск - коэффициентами ряда Фурье.
Теорема 23. Пусть : 1) {(рк (х)} - ортонормированная система функций
п
на [а, Ь\; 2) Sn (х) = ^ сА <рк(х) - п - я частичная сумма ряда Фурье функции / eQ[a,b];
3) Tn(x) = 'Z ak<pk(x), (32)
k=1
ak - постоянные; линейная комбинация функций (р{(х), <р2{х), ..., <рп(х). Тогда
|| f-Sn \\<\\ f -Тп ||, причем равенство имеет место в том и только в том случае, когда ak = ck, k-\,n.
Таким образом, среди всех линейных комбинаций вида (32) частичная сумма ряда Фурье дает наименьшее (наилучшее) среднее квадратическое отклонение (приближение) от функции /(х) .
