Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 27

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 283 >> Следующая

Сопоставляя определения 4 и 6 поточечной и равномерной сходимости последовательности (/„(У)) к функции f(x) на множестве X видим, что равномерная сходимость более сильное условие, чем обычная поточечная сходимость. Поэтому из равномерной сходимости последовательности (/„(х)) к функции f{x) на X следует ее поточечная сходимость к fix) на этом множестве. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. В качестве контрпримера рассмотрим последовательность fnix)-x" на [0,1), которая сходится поточечно к функции fix) = 0 при 0<х<1. Однако эта сходимость не будет равномерной на промежутке [0, 1). Действительно, в случае равномерной сходимости для числа е = 1/10 > 0 должны найти такой номер п0, что при всех п>п0 и любом хе[0, 1) выполнялось бы неравенство: j х” — о| =| х” | <1/10. Но это невозможно, так как при х, достаточно близких к 1: | jc" | > 1/10.
Теорема 7 (критерий Коши равномерной сходимости).
а) Для того чтобы функциональная последовательность (fn (х)) равномерно сходилась на множестве X необходимо и достаточно, чтобы для любого ?>0 существовал номер п0 = n(l(s), такой, что при всех
натуральных n > n0, р е N и при любом х е X выполнялось неравенство
\fn+P(x)-fn(x)\<?-
б) Для того чтобы функциональный ряд (6) равномерно сходился на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы для любого ? > 0 существовал номер п0 = п0(?), такой, что при всех натуральных п> п0, peN и при любом хе X выполнялось неравенство
S„+P(x)-Snix) \ =
п+р
? щ(х)
*=и+1
< ? .
Теорема 8 (признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда). Пусть существует номер п0, что при всех п>п0 и всех
I I +с0
хе X выполнены неравенства | ип (х) | < an и числовой ряд an сходится.
Л=1
Тогда функциональный ряд (6) сходится равномерно и абсолютно на множестве X.
+со
Замечание 1. Числовой ряд ?an , фигурирующий в теореме 8 называют
Н = 1
мажорантой для функционального ряда (6), поэтому саму теорему 8 -мажорантным признаком равномерной сходимости функционального ряда.
Пример 6. Исследовать на равномерную сходимость следующие функциональные ряды:
^ S х sin пх
а) на [0, q], 0<q <1; б) ? —f==---------------------,xeR.
»=i »=' л/1 + и2 (1 + их2)
Решение, а) При любом х е [0, q ] и при всех пе N выполняется оценка:
+00
0<х" <qn и числовой ряд ?qn сходится как геометрический ряд. Тогда по
Я=1
+00
признаку Вейерштрасса функциональный ряд ?х” сходится равномерно на
Я=1
сегменте [0, q ].
б) При всех xeR и п е N оценим общий член данного функционального
ряда
«»(*) | =
xsm пх
л/l + п2 (1 + пх2)
<
Vl + п2 (1 + пх2)
Отсюда с учетом неравенств: 1 + пх2 > 2| х 14п , yjl + n2 > п ,
получим
1 1
Iм»О)
2я3/2 «3/2
Pvn п
,3/2
Поскольку числовой ряд сходится как обобщенный гармонический ряд
я=1И
(см. пример 2), то в силу теоремы 8 данный функциональный ряд равномерно сходится на всей числовой прямой R .
Признак Дини1. Если все члены ип{х) функционального ряда (6) непрерывны и неотрицательны на сегменте [a, b] и ряд (6) поточечно сходится на [a, Ъ] к непрерывной на этом сегменте функции (сумме), то сходимость ряда (6) на [а, Ъ] является равномерной.
Теорема 9. а) Пусть последовательность (f„(x)) непрерывных на сегменте [a, b] функций равномерно сходится к функции f(x) на [a, b], тогда предельная функция f (х) непрерывна на [а, Ъ].
б) Пусть ряд (6) непрерывных на [а, Ь\ функций ип (х) сходится равномерно на [а, Ь], тогда его сумма S(x) также непрерывна на [a, b].
Из утверждения б) следует, что функция S{x) непрерывна в каждой х = х0& [а, Ь\. Это значит, что
lim ад = ад),
ИЛИ
+С0 +00 +О0
limXMnW = Swn(xo) = ZlimwnW • (8)
М*0И п=1 я=1*-«о
Равенство (8) означает, что если функциональный ряд (6) сходится равномерно
на [а, Ь~\ и члены ряда ип(х) непрерывны на [а, Ь~\, то предел от бесконечной
суммы слагаемых всегда равен бесконечной сумме пределов слагаемых. В этом случае говорят, что в рассматриваемом функциональном ряде допустим почленный переход к пределу под знаком бесконечной суммы.
Теорема 10 (почленное дифференцирование функциональной последовательности и функционального ряда).
а) Пусть последовательность (/„(*)) непрерывно дифференцируемых на [а, 6] функций сходится при некотором xQe[a,b], а функциональная последовательность (f'n(x)) производных равномерно сходится на [а,Ь]. Тогда сама последовательность (fn(x)) сходится равномерно на [а, Ь] к функции f(x) и справедливо равенство
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed