Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
и(г,ф) =----- [ f(s)—---------------г-------г ds , (11)
2nR о г2+R2-2rRcos(s/R-(p)
где r>R. Аналогично можно показать, что если функция f(R<p) непрерывна
на [0,2тг], то функция и(г,(р), определяемая формулой (11), является
гармонической вне круга Dr , на бесконечности ограничена и удовлетворяет граничному условию (3').
Замечание. Если решение задачи (1), (2), (3') искать в классе функций,
исчезающих на бесконечности, т.е. limw(x,jy) = 0, г2 = х2 + у2, то из
Г —» + со
формулы (11) при г —>¦ +оо найдем условие разрешимости этой задачи:
2 nR
\f(s)ds = §.
о
Внешняя задача Неймана. Найти в неограниченной области Q функцию и(х), удовлетворяющую условиям :
и(х)еС1(Й)пС2(^); (12)
Аи(х) = 0, хей; (13)
=/(х),хеГ; (14)
dN г
м(х)—»() при х—»оо(и>3); (15)
и(х) = 0( 1) при х—»оо(и = 2), (16)
где /(х) - заданная на Г достаточно гладкая функция.
В плоском случае внешняя задача Неймана на основании преобразования инверсии и теоремы Кельвина сводится к внутренней задаче Неймана. Поскольку решение внутренней задачи для уравнения Лапласа определяется с точностью до постоянного слагаемого (см. § 16), то и внешняя задача Неймана
(12) - (14), (16) в классе ограниченных на бесконечности функций определяется с точностью до постоянного слагаемого.
В случае п > 3 внешнюю задачу Неймана нельзя свести к внутренней преобразованием инверсии и теоремой Кельвина, так как в этом случае
производная функции о(?) по нормали к границе Г* области Q* выражается
ди
не только через
dN
, но и через значения самой неизвестной функции на Г.
г
Теорема 3. Если существует решение задачи (12) - (15), то оно единственно.
Доказательство. Пусть существуют два решения мДх) и и2(х) задачи
(12) — (15). Тогда их разность и(х) = их(х)-и2(х) удовлетворяет условиям (12),
(13), (15) и на границе Г удовлетворяет однородному условию
ди
dN
= 0. (17)
г
Поскольку м(х)—»() при х—»оо, то для любого ?>0 существует шар BR с центром в начале координат достаточно большого радиуса R такого, что |м(х)|<? для всех xg?Ir=?1\Br. Пусть G = ?lr\BR. Функция и{х)
является в области G гармонической, непрерывной в замкнутой области G и отличной от постоянной. Тогда наибольшее и наименьшее значения функции
и(х) по G в силу внутреннего принципа экстремума (см. § 13) достигаются
лишь на Г и сферической поверхности SR = dBR. В силу теоремы Жиро (см.
§16) эти глобальные экстремальные значения функции м(х) не могут
достигаться на Г, так как на Г справедливо равенство (17). Следовательно,
функция и(х) эти значения принимает на сфере SR, где |м(х)|<?.
Следовательно, | и (х) | < е всюду на G . Отсюда в силу произвольности а > О следует, что и(х) = 0 в
§ 18. Решение граничных задач для уравнения Лапласа методами потенциала и интегральных уравнений
Аппарат интегральных уравнений является весьма важным методом решения основных граничных задач для уравнения Лапласа в произвольной области с достаточно гладкой границей. Применение этого метода опирается на теорию потенциалов, поэтому предварительно приведем некоторые утверждения из этой теории.
1. Потенциалы объема, простого и двойного слоев. Пусть в некоторой
точке Р = (х0,y0,z0) пространства R3 помещен точечный электрический
заряд е. Тогда этот заряд создает электростатическое поле, напряженность Е которого в любой точке М = (х,y,z), отличной от Р, равна
Ё = -ке^~ г
или в проекциях по осям координат
Ех = , Е2 = , Е3 = (1)
г г г
где г = МР , г - гмр = | г |, к - коэффициент пропорциональности, который в
дальнейшем для простоты положим равный единице, т.е. к = 1.
Заметим, что правые части равенств (1) равны с противоположным знаком частным производным числовой функции
U(x,y,z) = U(M) = - = *---= (2)
r yl(x-x0) Ну-уо) + (z~zo) соответственно по x, у и z, т.е. функция —U(M) является потенциалом
векторного поля Е \ Е =-gradU(M). Следовательно, точечный заряд е,
помещенный в точку Р, создает потенциал (2), который является
фундаментальным решением уравнения Лапласа в R3.
