Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
кт—Я—(34)
2 71 s г 2 71
где пв - внешняя нормаль к поверхности 5 в Q, Q - переменная точка 5 .
В случае внешней задачи De из граничного условия (30) следует, что We(P) = f(P) или на основании формулы (21) :
27TV(P) + W(P) = f(P).
Разделив на 2л и воспользовавшись формулой (5), получим интегральное уравнение относительно плотности v(P) (для внешней задачи De):
1 .. cos(r,nn) 1
f) ~ т- я - - S - •-dS=т > ¦¦ (35)
Л>7Г 5 V J*7t
Поскольку решение задач Неймана ищем в виде потенциала простого слоя (4), то удовлетворяя этот потенциал граничному условию (32) с учетом формул (27) и (28), найдем интегральное уравнение задачи Nt
р(р)+~- Я m-s(r;n-r) p(P)ds=-Lg (Р), ре»
2 7Г s Г 2 7t
а также интегральное уравнение задачи Ne
р(Р)-±- я c0S(r;"F> p(g)ds=~g(P) (37)
LTt 5 V 2*71
Интегральные уравнения (34) и (35) имеют ядро
которое отличается лишь значениями параметра Я, соответственно равными -1 и +1. Точно также имеют ядро
различающееся значениями параметра Я, интегральные уравнения (36) и (37).
Нетрудно видеть, что интегральные уравнения (34) и (37), а также интегральные уравнения (35) и (36) являются сопряженными (союзными) между собой. Поскольку ядро K(P,Q) вещественное, то по определению
сопряженного ядра (см. §6 гл.4): K*(P,Q) = K(Q,P). При построении
сопряженного ядра надо нормаль к поверхности S строить в точке Р и направление г брать от точки Q к точке Р,т.е.
Следовательно, интегральные уравнения задач Д и Nе являются сопряженными между собой; точно так же сопряженными являются интегральные уравнения задач Д и N;.
Далее, полученные уравнения (34) - (37) будем исследовать на разрешимость в классе C(S) непрерывных на S функций. Поскольку для
поверхности S Ляпунова справедливы оценки: | cos(r,nQ) \ < сга,
| cos(г,пР) | < сга , то ядра уравнений (34) - (37) имеют слабую особенность:
Поэтому для попарно сопряженных интегральных уравнений (34), (37) и (35), (36) применима теория интегральных уравнений Фредгольма со слабой особенностью (см. § 6, гл. 4). По условию задач Дирихле и Неймана правые части уравнений (34) - (37) непрерывны на S, следовательно, если эти уравнения разрешимы, то их решения также будут непрерывными на S .
Докажем, что уравнения (34) и (37), соответствующие задачам Д и Ne,
разрешимы, и притом единственным образом в классе C(S) при любых
функциях f(P), g(P) из C(S). В силу их сопряженности доказательство
достаточно провести для одного из них. Рассмотрим соответствующее уравнению (37) однородное уравнение
1 cos (rpQ,np) 1 cos (г,Пр) [Т,пгл,
71------12----= -^Г-------3-----=
(38)
и пусть р0(Р) - какое-либо его непрерывное на S решение. Введем в рассмотрение потенциал простого слоя с плотностью р0(Р)
U0(M)=jj?№-dS, (39)
5 г
тогда определяемое формулой (28) предельное значение извне S производной по нормали потенциала (39) в силу (38) равно нулю:
= -2хр,(Р) + ЯрЛв)ds = о, PzS. (40)
Тогда в силу теоремы единственности решения задачи Ne (см. §17) U0(M) = 0 в Ge. Теперь рассмотрим потенциал (39) в ограниченной области Gr В этой области функция U0(M) гармоническая, непрерывная на G, и обращается в нуль на S. По теореме единственности решения задачи Z> функция
U0 (М) s 0 в G,. Но тогда = 0 на S , и с учетом (40) из формул (27) и
dni
(28) найдем, что р0(Р) = 0.
Итак, однородное интегральное уравнение (38) имеет только нулевое решение. В силу альтернативы Фредгольма интегральное уравнение внешней задачи Неймана (37) имеет единственное непрерывное на S решение при любой правой части g(P)eC(S). Таким образом, значение параметра Л = -1 является правильным для ядра H(P,Q) и, по теории Фредгольма, оно правильное и для сопряженного ядра H*(P,Q) = H(Q,P) = K(P,Q). Отсюда следует, что интегральное уравнение внутренней задачи Z>. разрешимо в классе C(S) для любой функции /(P)gC(5'). Поскольку задачи Z). и Ne эквивалентны соответствующим уравнениям (34) и (37), то из разрешимости последних вытекает разрешимость самих задач Z>. и Ne. Итак, доказана
Теорема 7. Если S - ляпуновская поверхность, то внутренняя задача Дирихле и внешняя задача Неймана для уравнения Лапласа при любых непрерывных данных f(P) и g(P) разрешимы, и их решения можно представить потенциалами двойного и простого слоя соответственно.
Перейдем к анализу сопряженных между собой интегральных уравнений задач De и Nt. Докажем, что для этих уравнений значение параметра Л = 1
