Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Замечания. 1. Отметим, что в случае, когда размерность пространства п> 2, доказательство теоремы 7 проводится аналогично. В этом случае следует положить, что
1
WE (0 = М
1
( р R ,
f ?_^~П R
Анализ доказательства этой теоремы показывает, что утверждение теоремы остается в силе и в том случае, если вместо ограниченности функции и в окрестности точки А допустить рост порядка
u(Q) =
а(р) 1п—, если и = 2, Р
сс(р)
1
-Я-2
, если п > 2
при р —> 0 (Q—> А), где а(р)-+ 0 при р -> 0.
Таким образом, если функция и (0 является гармонической в области G aR", за исключением точки А, в окрестности которой она растет медленнее, чем In 1 /р при п = 2 и 1 /рп~2 при п > 2, когда р —» 0 (Q—> А), то можно так доопределить значение и (А), чтобы функция и (Q) стала
гармонической всюду в области G .
Отсюда следует, что если функция и имеет в точке А неустранимую особенность, то она растет при приближении к точке А не медленнее, чем In 1 /р при и = 2 и \ I р"~г при п>2. Примером гармонической функции, имеющей неустранимую особенность в точке А, может служить функция In 1 /р при п = 2 и 1 /рп~2 при и >2, где р - расстояние от точки А до произвольной точки Q области G .
2. Отметим, что когда п = 1 теорема 7 уже теряет смысл.
3. Все доказанные в этом параграфе свойства гармонических функций от двух переменных переносятся и для гармонических функций любого числа переменных.
Далее установим поведение гармонических функций на бесконечности.
Теорема 8 (регулярность на бесконечности). Пусть функция и(х)
является гармонической вне замкнутого шара (круга в плоском случае) DR радиуса R с центром в начале координат и и(х) равномерно стремится к нулю (ограничена в плоском случае) на бесконечности. Тогда существует число А> 0 такое, что при всех г>г0 справедливы оценки
и (х) |
<
п-г
2 = 1, и, если бесконечности
и > 3. При
г
п = 2
ди(х)
<
дх1
существует конечный предел на
lim и (х) и
ди
дХ:
<
i = l,2,
где г - расстояние от точки x g DR до начала координат.
Доказательство. По условию функция и(х) равномерно стремится к нулю при г —»+оо и и >2. Это значит, что существует функция а(г)>0 такая, что
| и (х) | < а (г)
при всех г>г0»1 и сс(г)—>0 при г->+оо. Когда п = 2, функция н(х)
ограничена на бесконечности, т.е. н(х) = 0(1) при г > г0. По теореме Кельвина (см. § 12) функция
{ R) п-2 'R2 ? ГR)
--- и = ---
\Р) КР ) VPJ
и (х)
является гармонической удовлетворяет условию
в шаре .Од \ {/9 = 0} и при
(10) р = |?|-*0
*>(<?)=
0(1) при п - 2, &(р)
—^ при и >2,
Р )
особенности функция будет гармонической в точке ^ = 0, т.е. всюду в
шаре (круге) DR , поэтому она ограничена в некоторой окрестности точки Е, = 0 : | ? | < р0 . Тогда из формулы (10) при всех r>r0= 1/р0 получим оценку
где А > Rn 2 Ах, Аг = supj | при | ^ | < р0. Далее исходя из формулы (10)
ди = Rn~2 (2 - п) г~п х- о (g) -
вычислим
дх.
п-2 „-„-2 2
_2rп-г г-*~2х у
д?к
xk+RR-z г
ди(|)
Hi
(11)
Отсюда с учетом оценок
х.
^<1, \и(?)\<А1,
<А,
получим
ди
R*-2(n-2)Ax 2R"-znA2 Rn 1А
у п-2
."-1
+ -
+ -
1
— [Rn~z (п - 2) А, + (2/1 +1) Я"'2 Л2 - ] < —. г гг
Пусть и = 2. Поскольку функция о(cf) гармоническая в точке ? = 0, то
она непрерывна в этой точке, поэтому существует конечный предел
lim и (х) = lim о(^) = о (0).
/•->+00 р->0
Теперь, полагая в равенстве (11) п = 2 , установим оценку
ди
дх-
<-г, г = 1,2.
Отметим, что доказанная теорема о регулярности гармонической функции на бесконечности позволяет правильно ставить и изучать внешние граничные задачи для уравнений Лапласа и Пуассона.
1. Единственность решения. В этом пункте докажем утверждение о знаке производной по нормали в граничной точке экстремума гармонической функции в области D, граница которой удовлетворяет условию строгой сферичности изнутри, и покажем применения данного утверждения при доказательстве единственности решения задач Неймана и Пуанкаре для уравнения Лапласа.
Определение. Граница Г области D с R", п>2, удовлетворяет условию строгой сферичности изнутри, если каждой точки у е Г можно коснуться шаром В, целиком лежащим в D, т.е. существует шар В такой, что ВпГ = {у} и В с D.
Отметим, что данное геометрическое условие выполняется, если
поверхность Г принадлежит классу С2 (см. §18, п.2).
Теорема 1 (теорема Жиро или граничный принцип экстремума).
Пусть : 1) функция и(х) является гармонической в области D, непрерывной
на замкнутой области D и отличной от постоянной; 2) граница Г области D удовлетворяет условию строгой сферичности изнутри; 3) шах и(х) = и(х0) fmin и(х) = и(х0)), х0еГ. Тогда если в точке х = х0
