Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Пусть ряд из гармонических в области G функций
+ со
Е (*, у) = Щ (х, у) + и2 (х, у)+... +ип (х, У)+... (8)
«=1
сходится в точке А из области G. Тогда он сходится равномерно на любом
замкнутом круге DR с центром в точке А, лежащем внутри области G. Для
этого возьмем концентрический с DR круг Dr+s радиуса Rs = R + e, ?>0, но
все еще лежащий в G . Представим общий член ип(х, у) ряда (8) в круге Dr+s в виде интеграла Пуассона
1 2лК‘ s R2 - р2
ип(х,у) = -—— { ип(К’—)~г-------------------------------ТТо------\ds-
2nRe о Re Re +р -2RE pcos(s/RE-cp)
Отсюда в силу оценки (5), неотрицательности ип(х, у) и теоремы 1 о среднем
арифметическом, рассуждая аналогично, как в случае доказательства теоремы
4, получим оценку
Р un(A) < un (х,у) < Re ~— ип (А) (9)
К + р к-Р
для любых (x,y)eDR (p<R<Rs). Тогда на основании признака Вейерштрасса о равномерной сходимости функциональных рядов следует равномерная сходимость ряда (8) на замкнутом круге DR . В силу теоремы 5' сумма ряда (8) является гармонической в круге DR . Пусть Q - любая, отличная от А, точка области G. Соединим эту точку с А ломаной /, состоящей из конечного числа отрезков, целиком лежащей в G . Ломаная I с концами А и Q образует замкнутое ограниченное множество. Поскольку она не имеет общих точек с границей области G, то ломаная I находится на положительном расстоянии S от этой границы. На пересечении окружности р = R (границы
круга Dr) с ломаной I возьмем точку Ах и построим круг D, радиуса 5/2 с центром в точке А,. По выше доказанному ряд (8) сходится равномерно на замкнутом круге Di, и его сумма является в D, гармонической. Точно так же
ряд (8) сходится равномерно на замкнутом круге Di радиуса 8/2 с центром в точке А2 пересечения ломаной I с границей круга Д. При этом сумма ряда (8)
является гармонической в D2. Конечным числом таких кругов Dk, к = \,т, можно покрыть всю ломаную I так, чтобы точка Q лежала внутри Dm. Тогда получим, что ряд (1) сходится равномерно на каждом из замкнутых кругов Dk ,
к = \,т, и его сумма является гармонической в Dk. Отсюда, в частности, следует сходимость ряда (8) в точке Q. В силу произвольности точки Q вытекает, что функциональный ряд (8) сходится всюду в области G и его сумма является гармонической в G .
Чтобы доказать равномерную сходимость ряда (8) на любой замкнутой ограниченной подобласти F области G достаточно воспользоваться теоремой Гейне - Бореля. В силу этой теоремы множество F можно покрыть конечным числом замкнутых кругов D\, D2, ..., DP, лежащих внутри G, на каждом из которых ряд (1) сходится равномерно. Следовательно, он сходится равномерно на объединении этих кругов Dk , к = 1, р , и на множестве F .
Рассмотрим особые точки гармонической функции. Пусть А -изолированная особая точка, лежащая внутри области гармоничности функции и . Возможны два случая :
1) гармоническая функция ограничена в окрестности точки А ;
2) гармоническая функция не ограничена в окрестности точки А .
Особые, точки второго типа имеют фундаментальное решение уравнения
Лапласа, т.е. гармонические функции In 1 /г при п = 2 и 1 /г"-2 при п> 2. Следующая теорема показывает, что первый тип и в определенных пределах и второй тип особых точек можно устранить.
Теорема 7 (об устранимой особенности). Если функция и(х, у)
является гармонической в области G, за исключением точки А, в окрестности которой она ограничена, то можно определить значение функции и (х, у) в точке А так, чтобы она была гармонической во всей области G.
Доказательство. Пусть DR - круг радиуса R с центром в точке А, целиком лежащей внутри рассматриваемой окрестности точки А. По формуле Пуассона в круге DR определим гармоническую функцию щ(х, у) по значениям и (х, у) на границе Г данного круга. Введем новую функцию о(х,у) = и(х,у)-и1(х,у), которая является гармонической в DR , кроме точки А , где она не определена, и ограниченной на DR . На окружности Г функция о равна нулю. Покажем, что функция y(x,y)sO всюду в круге DR, кроме точки А . Для этого на этом круге построим функцию
M In
p_
R
ln-
R
где M = sup|u|, 0 <?<R, p - расстояние между точками А и Q, Q
произвольная точка круга DR\A. Функция wE(Q) равна нулю на границе Г круга Dr и числу М на границе Ге концентрического с DR круга De радиуса ?, является гармонической на замкнутом кольце ?<р< R. Поскольку
о = w? = 0 на Г и | и| < М = vv, на Ге , то на основании свойства сравнения гармонических функций следует, что для Qe DR \De справедлива оценка
|u(0|<wJ0.
Отсюда, переходя к пределу при ?-> 0, получим, что о (0 = 0 всюду в круге Dr , кроме, быть может, центра А . Доопределяя функцию о в точке А нулем, т.е. полагая о (А) = 0, получим, что о = 0 всюду в круге DR , т.е. и = и, всюду в Dr , если положить и (А) = щ (А) . Тем самым теорема доказана.
