Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
d - диаметр области D, т.е. максимальное расстояние между точками множества D. Если область D ограничена, то d является конечным положительным числом, причем для любого х е D : г <d. Заметим, что
1) v(х0) = и (х0) = М , так как г = 0 при х = х0\
М-т
2) о(х)\Г =м(х)|г+ - г2
М-т М+т
<т +------=------<М .
2 2
2d1
Таким образом, функция v(x) ведет себя в области D примерно так же, как и функция и(х), т.е. во внутренней точке х0 области D принимает значение, равное М, а все значения функции на границе Г меньше М, следовательно, глобальный максимум функции v(x) : max v(x) будет
D
достигаться во внутренней точке % = (?,,gn) е D . Тогда в этой точке по необходимым условиям экстремума (см. гл.1, §16)
ди
д2и
= 0 \/
х-е Зх2
< 0, i = 1, п .
дх;
Отсюда значение оператора Лапласа от функции и(х) в точке х = ? равно
л<'(‘Г) = 2>„1(‘Я^о. (2)
1 = 1
(.г2 )х = 2 (х,. - х<0)) , (г2 )хл = 2, А г2 = X (г2) хл =2 п.
1=1
вычислим
л/7 — т . ^
Ди(х) = Д
. М-т 2 и(х)Н-------г—г
2 J
. М-т . 2 {М-т)
= Аи +--^Аг -п ----—->0,
2d d2
которое при х = ? противоречит неравенству (2).
Аналогично доказывается теорема для случая минимума.
Следствие 1. Если функция и (х) является гармонической в области
D, непрерывной на замкнутой области D и наибольшее (наименьшее) значение по D достигает внутри области D, то она постоянна в D.
Доказательство. Допустим, что функция и(х) не является постоянной в
D. Тогда в силу теоремы 1 наибольшее значение функции и(х) по D достигается только на границе Г, что противоречит условию. Следовательно, и (х) = const в D .
На основании теоремы 1 и следствия 1 можно сформулировать следующий слабый принцип внутреннего экстремума для гармонических функций: гармоническая в ограниченной области D, непрерывная на замкнутой области D функция наибольшее и наименьшее значения по D достигает на границе Г области D.
В самом деле, если и (х) Ф const в D, то в силу теоремы 1 наибольшее и наименьшее значения по D достигаются только на Г; если же и (х) = const = С в D, то и (х) достигает своего наибольшего (наименьшего)
значения С в любой точке из D , в частности, на границе Г .
Следствие 2. Если функция и (х) является гармонической в D и
непрерывной на замкнутой области D, то при любых х е D справедливы оценки:
a) min и(х)<и (х) < шах и (х); б) | и (х) | < шах | и (х) |.
Следствие 3. Если последовательность гармонических в области D и непрерывных на замкнутой области D функций сходится равномерно на границе Г области D, то эта последовательность равномерно сходится и
во всей замкнутой области D.
Доказательство. Пусть ип(х) - последовательность гармонических в
области D и непрерывных в D функций. Пусть и„(х)|г = /„(х). По условию
последовательность /и(х) непрерывных функций сходится равномерно на Г. Тогда на основании критерия Коши о равномерной сходимости : для любого ?•>0 существует номер n0eN такой, что при всех хеГ и всех п, meN,
как только п, т>п0 следует неравенство \f„(x)-fm{x)\<s (см. §11, п.2,
гл.1). Рассмотрим разность ип(х)-ит(х), которая является гармонической в
области D и непрерывной в D, и для нее на границе Г выполняется равенство
K(*)-“*(*)]|r =M„0)|r-Mm0)|r =/п(х)-/Лх)-
В силу следствия 2 при любом х е D и всех п, т> п0
I “„(*)-“„(*) | ^ max | ип(х)-ит(х) | = max | f„(x)-fm(x) \йе.
1 г
Следовательно, для последовательности ип(х) по замкнутой области D
имеет место критерий Коши, поэтому она равномерно сходится в D.
Теорема 2 (строгий принцип экстремума для уравнения Пуассона).
Пусть функция и (х) е С(D)глС2(D) и Au(x) = g(x), хе D . Тогда если
g (х) > 0 (< 0) в D, то наибольшее (наименьшее) значение функции и (х) по
D не может достигаться внутри области D, т.е. наибольшее (наименьшее) значение достигается только на границе Г области D.
Доказательство. Пусть функция и (х) внутри области D достигает
глобальный максимум, т.е. существует точка х0 е D такая, что
и (х0) = шах и (х). Тогда в этой точке по необходимому условию экстремума
D
- О-
i=i dxi
что противоречит условию Д и (х0) = g (х0) > 0.
