Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
D D
существует производная по внешней нормали к границе Г области D, то
ди
dN
>0 <0).
dN 0
ди |
Доказательство. Очевидно, что -----1 >0. Докажем, что последнее
dNl 0
равенство является строгим. На продолжении вектора N к границе Г в точке х0 глобального максимума гармонической функции и(х) возьмем точку у0 eD так, чтобы шар В(у0, р0) = В0 с центром в точке у0 радиусом р0 касался границы Г в точке х0, т.е. 2?0пГ = {х0} и B0czD. Построим шар В(х0,р1) = В1 радиуса р,<р0 с центром в точке х0 (рис. 8). Пусть В = В0 п В,. В области В рассмотрим вспомогательную функцию
и(х) = е~ГРо -е~ур , где у - положительная постоянная, р - расстояние от точки у0 до любой точки
хеВ. Отметим, что функция и(х)<0 в шаре В0 и и(х) = 0 на границе дВ0 шара В0. В силу внутреннего принципа экстремума для гармонических функций
н(х)-н(х0)<0 на 2?\{х0}. Выберем постоянную А>0 настолько малую, чтобы всюду на границе дВ области В имело место неравенство
м(х)-м(х0)-Яи(х) <0.
В области В рассмотрим новую функцию
w(x) = и(х)-и(х0)-Ао(х), которая является решением уравнением Пуассона
Aw(x) = А[и(х)-и(х0)-Аи(х)] - Аи(х) - Аи(х0) - А Ао(х) =
= -ААо(х) =-А? ихх = 2Ауе~ГР [2ур2 -и], (1)
i=i
так как
^~=у erpl (р2 )'х =2 у p2e~rpI (*,. - у™), dxt
—у = _4у2 e~rp (xt -у\0))2 + 2уе~гр , dxi
р2 = (х, - уГ)2 + ... + (х, - уГУ + - + (х„ - >Г)2 ¦
За счет выбора постоянной у всегда можно считать, что 2ур2-п>0 в области В . Действительно, при всех хе В : 2 у р2 -п>2у р^п - п > 0, где А™1 ~ Ро~ Р\>® ¦ Тогда если взять у > п / 2 р^п , то правая часть уравнения
(1) строго больше нуля в области В .
Итак, функция w(x) непрерывна на В, в области В является решением уравнения (1), где правая часть больше нуля, и w(x)<0 на границе дВ области В . Тогда в силу следствия 4 § 12 из внутреннего принципа экстремума для уравнения Пуассона функция w(x)<0 в области В. Поскольку w(x) < О
на В и w(x0) = 0, то функция w(x) в точке х = х0 достигает глобальный
dw(x)
dN
dN
[и (х)-н(х0)~ Ли(х)\
Отсюда
du
~dN
>Л
du
dN
= Л
du
dp
P=Po
>0.
2Хуe ГРйp0 > 0 .
Далее рассмотрим задачу Неймана для уравнения Лапласа в области D с достаточно гладкой границей Г.
Задача Неймана. Найти функцию и(х) , удовлетворяющую условиям :
u(x)eC'(D)nC2(D); (2)
А и(х) = 0 , х е D ; (3)
=/W,xsr, (4)
dN r
где / - заданная достаточно гладкая функция.
Теорема 2. Если существует решение задачи (2) - (4), то оно единственно с точностью до постоянного слагаемого.
Доказательство. Пусть существуют два решения их(х) и и2(х) задачи
(2) - (4). Рассмотрим их разность м(х) = щ(х)-и2(х), которая принадлежит классу С'1 (D) п С2 (D), является гармонической в области D
А н(х) = A[Mj(x)-m2(x)] = Ам,(х)-А м2(х) = 0 и на Г удовлетворяет однородному граничному условию :
du _ -и2) дих du2
dN г dN г dN г dN
= f(x)~f(x) = 0.
(5)
Пусть функция и (х) не тождественно равна постоянной в области D. Поскольку м(х)еС(/)), то существуют точки х,, х2 е Z) такие, что м(х1) = шах и(х), и(х2) - гшп и(х) . В силу строгого внутреннего принципа
D D
экстремума для гармонических функций хх, x2&D и Xj, х2 е Г. На основании граничного принципа экстремума
du
dN
>0 и
ди
dN
<0.
Последние неравенства противоречат граничному условию (5). Следовательно, и(х) = const в D, т.е. мДх) = м2(х) +const.
Задача Пуанкаре. Найти функцию и(х) , удовлетворяющую условиям (2),
(3) и
dN
где f, a - заданные достаточно гладкие функции.
Теорема 3. Если существует решение задачи Пуанкаре и а (х) > 0 на Г
и функция а (х) не тождественно равна нулю, то оно единственно.
Доказательство. Пусть существуют два решения их(х) и и2(х) задачи
(2), (3) и (6). Пусть и(х) = щ(х) -и2(х). Функция и(х) принадлежит классу (2),
является гармонической в области D и на Г удовлетворяет однородному граничному условию
Допустим, что функция н(х) не тождественно равна нулю в D. Тогда существует точка хг е D такая, что м(х1)^0. Пусть для определенности и (х^ > 0. Тогда щах н(х) = н(х0) > 0 и если функция н(х) не тождественно
равна нулю, то х0 еГ. В этой точке в силу граничного принципа экстремума
Следовательно, и(х) = const = С0. Поскольку а(х) не тождественно равно нулю на Г, то подставляя н(х) = С0 в равенство (7), получим С0 =0. Тем
