Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Если в точках Р1,Р2,...,Рп помещены электрические заряды ех,е2,...,еп,
то потенциал электростатического поля, созданного этими зарядами, равен сумме
е\ ei е„
+ —— + ¦ ¦ ¦ + .
Р, ГМРг ГМР„
Поскольку при наличии конечного числа точечных зарядов создаваемые ими потенциалы складываются, то потенциалы, создаваемые непрерывно распределенными по измеримому множеству, находятся как предел интегральных сумм, т.е. в виде интеграла.
Пусть в кубируемой области D распределены заряды с объемной плотностью р(Р) Тогда потенциал поля, созданного этими зарядами, определяется тройным интегралом
v(M) = \\\^dD, (3)
D ГМР
где dD - элемент объема, Р - переменная точка области D, функция р(Р) -интегрируема в D. Интеграл (3) называется объемным потенциалом. Отметим, что интеграл (3) при М е D является несобственным, так как подынтегральная функция в окрестности точки М неограничена. Как несобственный интеграл он
сходится (см. § 27, п. 5, гл.1). Интеграл (3) при М &D является собственным, так как при всех Ре D расстояние гмр > 0. В этом случае о(М) непрерывна, имеет непрерывные частные производные любого порядка и является гармонической функцией вне области D, так как
( 1 ^
Ао(М) = |||/о(Р)Д ----- dD = 0.
d V гмр
Свойства объемного потенциала приведены в следующем утверждении. Теорема 1. а) Если объемная плотность р(Р) ограничена и
интегрируема в области D cz R3, то потенциал о(М) и его частные
производные первого порядка непрерывны во всем пространстве R3 и эти производные могут быть найдены дифференцированием под знаком интеграла (3).
б) Если функция р(Р) непрерывна на замкнутой области D и имеет непрерывные производные первого порядка в D, то потенциал о(М) имеет 632
непрерывные производные второго порядка в D и удовлетворяет уравнению Пуассона
Av(M) --Алр(М) . в) Если функция р(Р) интегрируема в кубируемой области D, то потенциал (3) стремится к нулю при М °о, причем справедлива оценка
|у(М)|< —, P*eD, C=\\\\p(P)\dD.
ГМР* D
Пусть заряды распределены по кусочно-гладкой поверхности S с плотностью р(Р). Потенциал поля, созданного этими зарядами, определяется поверхностным интегралом первого рода
U(M)=\\^-dS,
(4)
'МР
где dS - элемент площади поверхности S, Р - переменная точка S, функция р(Р) интегрируема на S . Интеграл (4) называется потенциалом простого слоя.
Пусть на оси /, заданной единичным вектором / , на расстоянии h расположены два точечных заряда е и -е (рис. 9). Тогда потенциал в точке М, создаваемой этими зарядами, равен U(M) = е(1/г'-1/г").
М
Рис. 9
Допустим, что расстояние h между этими зарядами стремится к нулю и при этом движении заряд е меняется так, что eh = v = const. Тогда предельное значение потенциала U(М) при h -» 0 равно
U(M) = lime
h—>0
г 1 ] Л
Г У
= limy(1 /r' ~' = lim—
Л->0 h Л-..о 2
= v
a<i/o
д!
(- п (- г \
= V = -V
р \ г) >!(
= - V
l/r'-l/r Х/г-Х/г” Л/2 V 2
cos(/A?)_
Предельное расположение зарядов в физике называют диполем, величину v
моментом, а / - осью этого диполя. При помощи точечных зарядов диполь может быть осуществлен лишь приближенно. Пусть теперь задана ориентированная кусочно-гладкая поверхность 5 и на ней равномерно распределен диполь с плотностью v(P), при этом в каждой точке Р е S направление оси диполя совпадает с направлением внешней нормали Я к .S' в точке Р. Тогда потенциал, создаваемый зтим диполем, определяется поверхностным интегралом второго рода
W(M)=\\v(P)^^dS = -\\v(P)^?-dS, (5)
s дп s г
где производная по нормали вычисляется в точке Р , v(P) интегрируема на S ,
<р = (глпр).
Интеграл (5) называется потенциалом двойного слоя. Такое название связано с тем, что рассматриваемое распределение диполя может быть приближенно осуществлено как два наложенных на двусторонную поверхность
S распределения зарядов с плотностью —v(P) и - — v(P) на расстоянии h
h h
(по нормали Я к S ) друг от друга при достаточно малом h.
Отметим, что интегралы (4) и (5) при М eS являются несобственными, так как подынтегральные функции в окрестности точки М неограничены. При М &S эти интегралы являются собственными и имеют производные всех порядков и удовлетворяют уравнению Лапласа, т.е. вне поверхности функции U(M) и W(M), определенные соответственно интегралами (4) и (5), являются гармоническими. Сходимость интегралов (4) и (5) при М е S зависит от гладкости поверхности S.
