Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
самым доказана единственность решения задачи Пуанкаре.
2. Необходимое условие разрешимости задачи Неймана
Пусть G - область R 3, ограниченная кусочно-гладкой ориентированной
поверхностью S, и пусть функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y, z) и частные
производные Рх, Q Rz непрерывны на G . Тогда справедлива формула
Гаусса - Остроградского [гл. 1, § 21, п. 4]
где N - внешняя нормаль к поверхности S, cos a, cos fi, cosy -
Пусть функции U(x,y,z), V(x,y,z)eC2 (G). В формуле (8) положим Р= UVX, Q = UVy , R = UVZ. Тогда получим
ди
-----1- а(х)м(х) = 0, х е Г.
dN
(7)
D
----- > 0, что в силу граничного условия (7) противоречит неравенству
dN Х=Х0
направляющие косинусы единичного вектора N, т.е. N=(cos a, cos р, cos у), dS - элемент площади поверхности S.
Px +Qy +RZ = (UVX )x +(UVy)y +(UVZ )z =
= uxvx+uyvy+uzvz +U(V„ +V„ + VZZ )= Ux Vx +Uy Vy+UzVz+U AV,
dV
Pcosa +Q cos/3 + i?cos^ =U[VX cos a + Vy cos fi+ Vz cos^] = -
JJJ(Ux Vx +Uy Vy +UZ VJdxdydz = \\U~dS-\\\UAVdxdydz. (9)
G S oN s
В формуле (9), меняя местами [/ и Г, имеем
Я\(uxVx+UyVy+UzVz)dxdydz= \\\V—dS-\\\VAUdxdydz. (10)
G S dN G
Вычитая из (9) равенство (10), получаем формулу Грина для оператора Лапласа
jJf(UAV-VAU)dxdydz = Jj(U~-F^-)dS. (11)
q s oJS! oN
Поскольку решение u(x,y) задачи Неймана не принадлежит классу C2(D), то отойдем от границы Г во внутрь области D на малое расстояние д. Полученную поверхность и область обозначим через Г5 и Ds. Тогда
и, о еС2 (Ds ) и для них справедлива формула (11):
о
fff (и Аи - vAu)dxdydz = |Т(н—--и——)dS. (12)
/j dN dN
Пусть в формуле (12) и(х, у, z) - решение задачи (2)-(4), а и(х, у, z) = 1. Тогда
ала „ до до до до
Аи = 0, Ао = 0, ----=—cosoh------cos/jh----cosy=0,
dN дх dy dz
и, переходя здесь к пределу при S —> 0, получим
Я1»
\\-—dS = JJ f(x,y,z)dS = 0. (13)
Г О Гу г
Отсюда вытекает, что если и(х, у, z) является решением задачи (2) - (4), то выполняется равенство (13). Таким образом, условие (13) является необходимым условием разрешимости задачи Неймана.
§ 17. Внешние граничные задачи для уравнения Лапласа
Пусть D - ограниченная область с границей dD = Y пространства Rn, п> 2. Обозначим через Q = Rn \DuF = Rn \D внешнюю по отношению к замкнутой поверхности Г часть пространства R". В неограниченной области Q для уравнения Лапласа рассмотрим внешние задачи Дирихле и Неймана и докажем единственность их решений. Отметим, что корректность постановки 626
задач Дирихле и Неймана в неограниченных областях существенным образом зависит от поведения решения на бесконечности.
Внешняя задача Дирихле. Найти в неограниченной области Q функцию и(х) , удовлетворяющую условиям :
ы (х) е С (Q) п С2 (Q); (1)
Дн(х) = 0, х е Q; (2)
и(х)|г =/(л), леГ; (3)
и(х)—>0 при х—>оо, (4)
т.е. lim и (х) = 0 равномерно относительно х е Q, если п > 3 ; если же п = 2 ,
Г—>+СО
то
н(х) = 0(1) при х—>оо, (5)
т.е. функция н(х) ограничена на бесконечности, где /(х) - заданная на Г, по
крайней мере, непрерывная функция, г2 = | х |2 = х2 + хг + ... + х2.
Условие (4) в случае п > 3 является существенным для единственности
решения внешней задачи Дирихле, в чем легко убедиться на следующем
примере. Пусть требуется найти решение задачи Дирихле для уравнения
Лапласа во внешности сферы SR радиуса R пространства R3 с граничным условием
«0)| ss =/о = const.
Если опустить условие (4) в постановке внешней задачи Дирихле, то решениями
R
данной задачи могут служить функции щ(х) = /0 и н2(х) = /0 —, а также их
г
линейная комбинация
( R^\
и(х) = ащ+ Ри2= /0 а + р— , а + р = 1.
V г)
В плоском случае, т.е. когда п = 2 , условие (4) обращения решения в нуль на бесконечности обеспечивает единственность решения внешней задачи Дирихле, но оно оказывается слишком сильным, так как при условии (4) внешняя задача может оказаться вообще неразрешимой. Действительно, пусть требуется найти решение задачи Дирихле во внешности круга DR радиуса R с граничным условием на окружности Гд