Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 4 (теорема Лиувиляя). Если гармоническая на всей плоскости функция ограничена снизу или сверху, то она постоянная.
Доказательство. Пусть, например, функция и(х, у) ограничена снизу,
т.е. существует действительное число М такое, что для всех (х, у) е R2:
и(х, у)>М. Не теряя общности можно считать, что М > О, так как в
противном случае, прибавляя к функции и(х, у) положительную постоянную,
всегда можно добиться желаемого неравенства. Пусть Q = (x, у) = (р, (р) -
произвольная точка плоскости R2 и покажем, что м(0 = м(О, 0). Этим будет
доказано, что и (х, у) = const. Построим круг DR с центром в точке (0, 0)
такого радиуса R , чтобы точка Qe DR . Тогда по формуле Пуассона
1 2ггЯ R2 — о2
“(0 =------- f f(s)—2-------5----------T~i-----\ds’ (4)
2nR о R2+р2-2Rpcos(s/R-<p)
где /(s) = u(R, <p) = u(R, s/R). Поскольку -1 < cos(s/R-(p) < 1, то при всех (р, (р) е Dr справедливы неравенства
R-p <______________r2-p2____________< R+P (5)
R + p R2 + р2 -2Rpcos(s/R-<p) R-p Применяя к оценке (5) интегральный оператор
1 InR
ъГв. \ /(5)'"&
с учетом равенств (2) и (4), получим
^ и(0, 0) < u(Q) < ^ и(0, 0).
R+p R-p
Отсюда при i? —> + оо имеем, что м(0, 0) < м(0 < м(0, 0), т.е.
и (0 = и (0, 0).
Если последовательность линейных функций un(x) = anx + bn сходится на концах сегмента [а, /?], то эта последовательность сходится равномерно на этом сегменте, причем предельная функция является линейной. Действительно, если последовательность ип(х) сходится в точках х = а и .*; = /?, то нетрудно
показать сходимость числовых последовательностей ап и Ъп. Пусть lim ап =а и lim bn = b. Тогда последовательность un(x) - anx + bn сходится равномерно на сегменте [а, /?] к предельной линейной функции и(х) = ах + Ь. Действительно, зададим произвольное ? > 0. В силу сходимости последовательностей ап и Ъп по числу ?х =ff/(l + f3-oc) найдется номер п0
такой, что для всех п > п0 выполняются неравенства \ап-а\<?х и \bn-b\<?x.B силу этих неравенств при любом хе[«, (3\ справедлива оценка
что и подтверждает справедливость нашего утверждения.
Аналогичным свойством обладают гармонические функции многих переменных.
Теорема 5 (первая теорема Гарнака). Если последовательность ип
гармонических в области G, непрерывных на замкнутой области G сходится равномерно на границе Г области G, то эта последовательность
сходится равномерно на G и предельная функция является гармонической в G и непрерывной на G.
Доказательство. В силу следствия 3 §13 последовательность ип(х, у)
сходится равномерно на замкнутой области G. Тогда предельная функция непрерывна на G. Поэтому остается доказать, что предельная функция является гармонической в G . Пусть Q - произвольная, но фиксированная точка области G. Тогда найдется круг DR , лежащий внутри G и содержащий в себе точку Q. На этом круге каждую из функций ип(х, у) можно представить в виде интеграла Пуассона
1 R2 — р2
ип(х,у) = ~— { fn(s)—2---------------------ГТо-----\ds’ (6)
2nR о R +р -2Rpcos{s/R-(p)
где fn(s) = un на окружности Гд круга DR. В силу равномерной сходимости
последовательности м„ (х, у) на замкнутом круге DR в равенстве (6) можно
перейти к пределу при и->+ оо . Обозначив пределы lim ип(х, у) = и(х, у) и
lim fn (s) = / (s), получим
1 2лК R2 - n2
u(x,y) = -—- { f(s)—2---------2 ------ГТр-----\ds- (7)
2 7rR о R + p —2Rp cos (s/R — (p)
Поскольку функция / (5) непрерывна на сегменте [0, 2лR], то в силу теоремы
2 §14 функция и(х, у), определенная интегралом (7), является гармонической
в круге Dr . В силу произвольности точки Q функция и (х, у) является
гармонической в G.
Аналогичная теорема справедлива для рядов от гармонических функций.
+ со
Теорема 5'. Если ряд ^ ип(х, у) из гармонических в области G,
Я=1
непрерывных на G функций ип (х, у) сходится равномерно на границе Г области G, то этот ряд сходится равномерно на G и сумма ряда гармоническая в G и непрерывная на G.
Условия первой теоремы Гарнака можно значительно ослабить, если последовательность гармонических функций ип является монотонной в области G.
+ со
Теорема 6 (вторая теорема Гарнака). Если ряд ^ип(х,у) из
и=1
неотрицательных гармонических в области G функций ип (х, у) сходится
хотя бы в одной внутренней точке этой области, то он сходится всюду в G, причем равномерно на любой замкнутой ограниченной подобласти области G. При этом сумма ряда является гармонической в G.
