Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
п=1 и=1 «=0
= -l + 2Re^ z" =-l + 2Re- 1
(17)
= -l + 2Re-
1
1 —z 1 -p2
1 - ре \ +p -Ipzosco Тогда, подставляя (18) в (17), найдем формулу
1 1п 1 -п2
и(Р, <р)=— if (о р
dt,
(18)
(19)
2л-о" 1 + р2 -2pcos(t-cp) которая называется формулой Пуассона и она определяет решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в единичном круге р < 1.
Для круга р < R произвольного радиуса R решение задачи Дирихле получается из формулы (19) заменой р на p/R :
R2-p2
(р, (р)=— \ f(t)~----г-
2л- о R +р -2pRcos(t-<p)
dt,
где / (t) = f (tR) = f (s) , dt = ds/R , s = <pR - длина дуги окружности p = R. Отсюда имеем
1 2W, , R2~p2
и(р,ф) =----- {/(s)—----
2ttR I ’R2 + р1 -2pRcos(s/R-(p)
Формула (20) определяет решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге р < R со значениями на окружности
М(А (p)\P=R =u(R, <p) = f(R<p) = f(s), 0 < s <2л R . (21)
Подынтегральное выражение
r2-p2
П (р, (р, s) - —---г------------------
R2 +р2-2pRcos(s/R-cp)
называют ядром Пуассона. Ядро Пуассона обладает следующими свойствами :
1° П(р, (р, s) >0 при p<R, таккак R2 + р2 > 2Rp;
2° П(р, (р, s) -> + оо при /7 —> R и s = (pR\
3° функция П(/з, (р, s) внутри круга p<R имеет производные любого
порядка и там является гармонической.
Отметим, что функция (20) получена при условии, если
f (s) е Сг[0, 27Г R]. Формула (20) задает решение задачи Дирихле в произвольном круге р < R при более слабых условиях на гладкость граничной функции / (5), т.е. достаточно непрерывности функции / (5) на сегменте [О, 27i i?]. Действительно, в силу свойства 3° ядра П (р, (р, s) интеграл (20) при всех р < R допускает почленное дифференцирование по р и ср любое число раз, так как полученные при этом интегралы равномерно сходятся на любом замкнутом круге p<R^<R. Следовательно, функция u(p,q>), определенная формулой (20) при непрерывной функции / (5), имеет производные любого порядка в круге р < R. Поскольку оператор Лапласа от функции П(р, (р, s) тождественно равен нулю при p<R, то функция и(р,ф) является гармонической в круге p<R при всякой непрерывной функции /(5). Теперь остается доказать, что функция и(р, (р), определенная равенствами (20) и (21), непрерывна на замкнутом круге p<R, т.е. надо показать справедливость предела
lxmu(p,<p) = f(s0),s0 = R<p0. (22)
<Р = <Ро p->R
Для этого рассмотрим последовательность функций f„(s) из класса C'fO, 2тг./?], равномерно сходящуюся на сегменте [0, 2тг 7?], к заданной непрерывной функции f(s). По данной последовательности функций fn(s) построим по формуле Пуассона (20) гармонические в круге р < R функции
j 2ж R
«,(А?») = — I/и (5) П(р, (р, s)ds,
in iv о
удовлетворяющие граничному условию
М«(А <P)\p=R = fn(s), 0<s<2ttR.
По следствию 3 §13 последовательность ип (р, (р) сходится равномерно на замкнутом круге р < R и поэтому предельная функция
j 2яR
м(А^) = т—- \f(s)U(p,(p,s)ds
2.71 л\ о
непрерывна на D , что и означает справедливость предела (22).
Итак, справедливо следующее утверждение.
Теорема 2. Если функция f (s) е С[0, 2л R] и / (0) = / (2л R), то существует единственное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в произвольном круге p<R и это решение определяется формулой Пуассона
(20).
Следствие. Решение задачи Дирихле внутри круга бесконечно дифференцируемо, т.е. и(р, <р) е С°° (р < R).
§ 15. Свойства гармонических функций
В этом параграфе установим важнейшие свойства гармонических
функций, заданных в некоторой области G плоскости R1. Доказательство почти всех свойств проводится на основании формулы Пуассона, которая однозначно определяет любую гармоническую в круге DR радиуса R и
непрерывную на замкнутом круге DR функцию по ее значениям на границе этого круга.
В случае пространства Rx = R уравнение Лапласа имеет вид
д2и
-----Т = ихх ~ 0 •
5 2 хх
х
Общее решение данного уравнения задается формулой
u(x) = ax + b, (1)
где а и b - произвольные действительные постоянные, т.е. она является линейной функцией. Оказывается многие свойства гармонических функций от нескольких переменных аналогичны свойствам линейной функции. Так, например, значение линейной функции (1) в середине отрезка [«, /?] равно среднему арифметическому ее значений на концах этого отрезка
