Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Следствие 4. Пусть функция и (х) е C(D)nC2(D) и A u(x) = g(x) в области D. Тогда если g (х) > 0 (< 0) и и (х) < 0 (> 0 ) на Г, то и (х) < 0 (>0)вD.
Доказательство. Пусть существует точка х} е D такая, что m(Xj)>0. Тогда max и(х) = и(х0)>0 и по теореме 2 точка х0еГ, что противоречит
условию и (х) < 0 на Г, в частности, и (х0) < 0.
Далее покажем применение принципа экстремума к доказательству единственности и устойчивости решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа.
Задача Дирихле. Найти в области D с границей Г функцию и (х), удовлетворяющую следующим требованиям :
и (х) е C(D) п С2 (D); (3)
Д и (х) = 0, х е D ; (4)
“(¦*) |г =/(¦*) > *еГ. (5)
где /(х) - заданная, по крайней мере, непрерывная функция.
Теорема 3 (единственность решения). Если существует решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в области D, т.е. задачи (3) - (5), то оно единственно.
Доказательство. Допустим, что существуют две гармонические функции мДх) и и2(х) , удовлетворяющие условиям (3) - (5). Рассмотрим разность этих функций м(х) = Mj(x)-M2(x). Функция и(х) удовлетворяет следующим условиям :
1) м(х)еС(?>)пС2(?>);
2) Аи(х) = А(и1(х)-и2(х)) = Дм,(х) - Аи2(х) = О в D;
3) м(х)|г =[м1(х)-м2(х)]|г =и1(дг)|г-и2(дг)|г =/(х) -/(х) 5= 0 . Значит функция и(х) является гармонической в области D, непрерывной в области D и м(х)| =0. По доказанному выше принципу экстремума шахм и
1Г D
гщпи достигаются на границе Г, а на Г функция и(х) = 0. Тогда и(х) = 0 в
D
D, т.е. Mj (х) = и2 (х).
Теорема 3 (устойчивость решения). Решение задачи (3) - (5) непрерывно зависит от граничной функции.
Доказательство. Пусть м;(х) - решение задачи (3) - (5) при граничной функции /[(х), а и2(х) - решение задачи (3) - (5) при функции /2(х). Тогда разность М[(х)-и2(х) является решением задачи (3) - (5) при граничной функции fi(x)-f2(х). Пусть для любого ?>0 и при всяком хеГ справедливо неравенство: \f(x)-f2(x)\<?. Тогда в силу следствия 2 для разности Mj(x)-M2(x) справедлива оценка
| Mj(x)-M2(x) | < шах | их(х) -и2(х) | = max | fx(х)- /2(х) | < ? . г г
А это означает устойчивость решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа.
§ 14. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге методом разделения переменных. Формула Пуассона
1. Решение задачи Дирихле в круге. Рассмотрим уравнение Лапласа
Аи = ихх+иуу= 0 (1)
в круге D = { (х,у) | х2 +у2 < 1} с границей Г : х2 + у2 = 1 (рис. 7).
Задача Дирихле. Найти в области D функцию и(х,у), удовлетворяющую следующим условиям :
и е C(D) П С2 (D) ; (2)
Au(x,y) = 0, (х, y)&D] (3)
и(х, у)\г = f (ip), 0<ср<2л , (4)
где / (<р) - заданная достаточно гладкая функция, ср - угол между осью Ох и радиус - вектором ОМ , /(0) = f (2л).
Для решения поставленной задачи (2) - (4) применим метод разделения переменных. В дальнейшем будем предполагать, что функция / (ср) на сегменте [0,2тг] непрерывна и имеет на этом сегменте непрерывную первую производную, т.е. f (<р) е С‘[0, 2л\. В области D перейдем к полярным координатам х = р cos^?, у = р sin , 0<р<1, 0<(р<2л. Тогда уравнение (1) в полярных координатах (см. гл. 1, § 15, п. 6) имеет вид
р2ирр+рир+и^=0. (5)
Решение и (х, у) = и (р cos<p, р sin^>) = и (р, ф) = и (р, (р) уравнения (5) будем искать в виде произведения двух функций
и ( р, ср) = R (р) ¦ Ф (<р) Ф 0 в D. (6)
Подставив выражение (6) в уравнение (5), получим
p2R"( р) ф(<р) + р R'( p)0(cp) + R( р) Ф» = 0.
Поделив на R(p)0((p), имеем
2 R"(p) R'(p) Ф\<р)
2—УУ1 + р =-(7
н R(p) И R(p) Ф(<р)
Левая часть равенства (7) зависит только от р, а правая только от ср. Поэтому равенство (7) возможно только тогда, когда левая и правая части представляют собой одну и ту же константу Я. Тогда уравнение (7) распадается на два обыкновенных дифференциальных уравнения :
p2R\p) + pR'(p)-AR(p) = 0. (9)
Поскольку f(<p + 2л)- f (ф), то из (6) следует, что Ф($> + 2тг) = Ф(^), т.е.
функция Ф является периодической с периодом Т = 2л . Это возможно только
в том случае, когда Л = п2, neW и общее решение уравнения (8) определяется по формуле
Ф„(ср) - ап cos n(p + bn sin пер,
где ап \лЪп- произвольные постоянные.
Уравнение (9) при Л = п2 имеет два линейно независимых решения Ъ(Р) = РЯ, R2(p) = p-n.
