Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку ищется непрерывное в D решение, то в качестве решения уравнения (9) следует взять функцию Rx(p) = р". Тогда на основании (6) найдем ип(р, (p) = Rn(p) Ф„((р) = р\ап cos гкр + Ъп sin пер).
Таким образом, найдены частные решения уравнения (5) в круге D, которые являются гармоническими в D при каждом пе N.
Если Л = 0, то решением уравнения (5) является функция и = const. Для удобства возьмем и = const = а0/2, тогда решение задачи Дирихле в круге D будем искать в виде суммы
С2 ю
и(р, ср) = — + cos ncp + bn sin пер). (10)
2 я=1
Пусть последовательности ап и Ьп ограничены. Обозначим через
M = sup {|д0|/2, |ди| + |би|}. Тогда ряд (10) при любых р<рх< 1, где рх -
П
фиксированное положительное число, мажорируется сходящимся числовым рядом
+ Л + Р\ +••• + Р\ + •••) =М Е р” . (100
п=0
Тогда на основании признака Вейерштрасса ряд (10) сходится равномерно на любом замкнутом круге р<рх. Поэтому сумма ряда (10) непрерывна на замкнутом круге р< рх. Отсюда в силу произвольности числа р,е( 0,1) следует, что функция и(р, <р) непрерывна в круге D .
Ряд (10) внутри круга D допускает почленное дифференцирование по переменным р и ср любое число к раз, так как полученные при этом ряды для
всех р < рх < 1 мажорируются сходящимися числовыми рядами типа (ЮД
Действительно, из ряда (10) формальным почленным дифференцированием к раз составим ряды :
дрк
дки (р, ср) дсрк
= X«(«~1 )•... - (п-k + l)рп (ап cos ncp + bn sin ncp);
V к п
= Ln Р
ап cos
( Ir 72-4
пср + к- —
I 2
+ Ъ„ sin
пср + к
л
(11)
(12)
Ряд (11) при р < рх < 1 мажорируется сходящимся числовым рядом
? M-h(ii-I)- ... -(п-k + l)рх'к <М и* РТк =М -^(к + т)к р™ .
п=к п~к т=О
А ряд (12) оценивается также сходящимся числовым рядом
М-+±пкрпх.
п=1
Следовательно, ряды (11) и (12) равномерно и абсолютно сходятся в замкнутом круге р< рх. Поэтому суммы рядов (11) и (12) непрерывны в D.
Если теперь подставить ряды, полученные из(11)при к = 1 и к = 2 и ряд (12) при к = 2 в уравнение (5), то убеждаемся, что функция и(р,(р),
определенная рядом (10), является его решением внутри круга D.
Таким образом, ряд (10) внутри круга D является гармонической
функцией. Пусть ряд (10) сходится равномерно на замкнутом круге D. Тогда, удовлетворяя ряд (10) граничному условию (4), получим
и(р,(р)\р=1 = f {(Р) = ^r + f.{ancos n(p + b„sin пер). (13)
2 п=1
Ряд (13) представляет собой разложение в ряд Фурье функции / (<р) на промежутке [0, 2п]. Тогда коэффициенты ап и Ъп определяются по формулам (см. гл. 1, § 11, п. 4):
1 2л
ап=— J / (ф) cos ncp dcp, п = 0,1, 2,... ;
71 о
1 2п
bn=— f / (ср) sin ncp dcp, п= 1,2,... . п о
(14)
(15)
Если функция / (ср) непрерывна на сегменте [0,2тг] и имеет там непрерывную первую производную, то ряд (13) равномерно сходится на сегменте [0, 2л] к самой функции f(cp), при этом ряд (13) мажорируется сходящимся числовым рядом
^ + ?(ifl»i+i*J)- (1б)
I п=1
Поскольку для любого р< 1 ряд (10) мажорируется рядом (16), то на основании
признака Вейерштрасса ряд (10) равномерно и абсолютно сходится в D. Тем самым доказана следующая
Теорема 1. Если функция / (ср) е С1 [0, 2п\ и / (0) = / (2л-), то существует единственное решение задачи Дирихле в круге D, которое определяется рядом (10). Коэффициенты an и Ьп ряда (10) находятся
соответственно по формулам (14) и {15).
2. Формула Пуассона. Преобразуем ряд (10) с учетом выражений (14) и
(15):
+-Z р"
Я п-\
I 2л-
И (А Ф) = — 1 / (0 dt +
о
2к 2к
| /(t) cosnt dt cosncp-k- | / (t) sinrcf dt sin ncp
I 2x I 2x oo
— | / (t)dt н— { / (0 Z pn(cosnt cosnp + sinnt sinrcip) dt =
2n о Л" О И=1
1
2тг
{ /(0 1 + 2? pn cos n(t-(p) dt .
2 71 о L n=l
Учитывая формулу Эйлера (см. гл. 1, § 23. п. 5)
zn =(реш)п = рпешп = pn(cosпсо + isinпсо), t-<p = co , найдем сумму ряда
со со со
1 + 2? рп с os n(t-<р) = 1 + 2^ pn cos na> = -1 + 2^ p"cos псо
