Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
интеграле (25) ц/ = (г Л пр ), где - единичный вектор внешней нормали к S
в фиксированной точке Р0 е S . В обоих интегралах г = МР .
Пусть М = Р0 е S. Если плотность р(Р) ограничена и интегрируема на S, то интеграл (25) сходится как несобственный. Докажем это. Выделим часть S0 поверхности S, лежащую внутри сферы с центром Р0 радиуса d.
Достаточно показать сходимость интеграла (25) по части S0. Введя местную систему координат с центром в точке Р0, приведем этот интеграл к
виду
MP)^dS = ,./(?,)) “^*?41. (26,
S0 Г п Г COSX
Поскольку функция р(Р) ограничена: \ р{Р)\< К , то на основании (12) и (13) для подынтегральной функции из (26) получаем оценку
2 Кс
<-------
Г COSX
которая гарантирует сходимость интеграла (26).
Оказывается, значение интеграла (25) в точке М = Р0 е S нельзя
рассматривать как производную по нормали потенциала (4). Это значение интеграла (25) называют прямым значением производной по нормали
dU(P0) dU(P0) дЩР0)
потенциала простого слоя и обозначают ---------—. Через -------— и --------—
дп dni дпе
будем обозначать предельные значения (если они существуют) производной по
дЩМ) п 0
нормали----------, когда М —» Р0 е S изнутри, соответственно извне S .
дп
Теорема 6. Если S - замкнутая поверхность Ляпунова и р(Р) непрерывна на S, то на S существуют равномерные пределы производных по нормали потенциала простого слоя (4) как изнутри, так и извне S, которые определяются по формулам:
2,Р(П), (27)
дп. дп
(28)
дпе дп
Идея доказательства. Введем в рассмотрение потенциал двойного слоя с плотностью р(Р):
S дпр
и составим сумму
642
дп s
дпм
^г) дпр \г.
Оказывается сумма (29) меняется непрерывно, когда точка М пересекает поверхность S по нормали п к ней (см. [8, гл.14]). Но тогда для суммы (29) предельные значения и прямое значение совпадают:
^+wmjj^+WtWjlm+w^
oni дпе дп
Отсюда с учетом теоремы 3 следуют искомые формулы (27) и (28).
5. Сведение задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа к интегральным уравнениям
Пусть S - замкнутая поверхность Ляпунова, ограничивающая две области: G, - внутреннюю и Ge - внешнюю. Рассмотрим четыре граничные задачи для уравнения Лапласа.
Внутренняя задача Дирихле (задача Д.). Найти функцию W{M),
гармоническую в области Gt и непрерывную в замкнутой области Gi = G; и S так, чтобы
W(M)\s=f(P),PeS, (30)
где /(Р) - непрерывная на S заранее заданная функция.
Внешняя задача Дирихле (задача De) состоит в определении функции
W(M), гармонической в области De, непрерывной на De = De и S, удовлетворяющей граничному условию (30) и
lim W(М) = 0, R2 =х2 + у2 +z2, (31)
Д—»+ оо
равномерно относительно M(x,y,z) е De.
Внутренняя задача Неймана (задача Nt). Найти функцию U(M), гармоническую в Gt такую, чтобы ее производная по нормали к поверхности S принимала заданное значение g{P):
dU
дп
= g(P),PeS, (32)
s
где g(P) - непрерывная на S функция.
Внешняя задача Неймана (задача Ne) состоит в определении гармонической в Ge функции U(M), удовлетворяющей условиям (31) и (32).
Как нам известно (см. § 13, 16, 17), из этих четырех задач три имеют единственное решение: обе задачи Дирихле и внешняя задача Неймана. Для разрешимости задачи Nt необходимо, чтобы
[[g(P)dS = Q, (33)
s
и если задача Nt оказывается разрешимой, то она определяется с точностью до
постоянного слагаемого.
Решение задач Дирихле будем искать в виде потенциала двойного слоя с неизвестной непрерывной плотностью, а решение задач Неймана - в виде потенциала простого слоя, также с неизвестной непрерывной плотностью. Тем самым гармоничность искомых решений в соответствующих областях обеспечена.
Рассмотрим внутреннюю задачу Дирихле. Граничное условие (30) следует понимать так: если MeG,- и М —» Р е S, то
Urn W(M) = f(P) или Wt (Р) = f(P).
По формуле (20) имеем
W(P)-2nv(P) = ДР), PeS.
Заменим здесь прямое значение W(P) по формуле (5) и, разделив обе части равенства на -2ж, найдем интегральное уравнение относительно искомой плотности v(P):
1 .. cos(r,nn) 1
