Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Пусть точка М = Р0 е S. Тогда г = | Р0Р | —>¦ 0 при Р —>¦ Р0 по S. В этом случае интеграл (5) становится несобственным. Для обоснования сходимости интеграла (5) нам достаточно исследовать его на части S0 поверхности S, находящейся
внутри сферы с центром в точке Р0 радиуса d. По оставшейся части S\S0 интеграл (5) всегда существует, так как точка Р0 е S0 (г > 0 при всех Р eS\S0). На части S0 центром в точке Р0 введем местную систему координат Тогда уравнение части S0 поверхности S можно задать в явном виде С = /(?>*7). В этой системе координат: Р0 =(0,0,0), P = (g,t],Q,
г =
Р Р
1 О1
= + г/2 + . Тогда на основании оценки (11) и неравенства
р = д/^2 +172 < г имеем
I c0S(PA < = (и)
г2 ~ г2 г2-а - р2~а ¦ ^ ;
Поскольку функция v(P) ограничена на S , то существует с, = const > 0 такая,
что ^ Cj при всех Р g S. Теперь рассмотрим интеграл (5) по части Sq и
сведем его к двойному интегралу (см. § 21, п. 3, гл. 1):
ЯКР)^«=(,5,
s0 г а г cos у
Тогда подынтегральная функция интеграла (15) с учетом неравенств (14), (13) оценивается так:
2ccj _ с2
у^п,т,п))с-^г-—
<
2-а 2-а
Р Р
г cos у
отсюда и следует сходимость интеграла (15) (см. § 22, п. 5, гл. 1).
Определение 1. Значение интеграла (5) в точке М = Р0 е S называют
прямым значением потенциала двойного слоя. Пусть М <? S и М —»¦ Р0 е S.
Если при М —»Р0 е S потенциал двойного слоя W(M) стремится к конечному пределу, то этот предел называют предельным значением потенциала двойного слоя в точке Р0 е S.
Оказывается, предельные значения извне поверхности S или изнутри и прямые значения потенциала двойного слоя не совпадают, т.е. потенциал двойного слоя терпит разрыв при переходе точки М через поверхность S .
Обозначим через Gt внутреннюю область, ограниченную замкнутой поверхностью S, а через Ge - неограниченную область, внешнюю к G( , т.е. Ge = R3 \ Gt u S .
Сначала рассмотрим потенциал двойного слоя (5) с единичной плотностью v(P) = 1. Тогда
Интеграл (16) называют интегралом Гаусса.
Лемма. Если S - замкнутая поверхность Ляпунова, то значения интеграла Гаусса определяются формулой
Доказательство. Пусть точка М находится вне S, т.е. М е Ge. В этом
случае 1 /г есть гармоническая по координатам точки Р функция в области G,
с непрерывными производными любого порядка вплоть до границы S . Тогда по необходимому условию разрешимости задачи Неймана для уравнения Лапласа (см. § 16)
Пусть точка М eGr Опишем вокруг этой точки сферу SE радиуса s; последний возьмем достаточно малым, так чтобы S? лежала внутри S. В области Gie, ограниченной поверхностями S и Se, функция 1 /г гармоническая и имеет непрерывные производные вплоть до границы SuS?. Снова по указанному выше свойству гармонических функций
На сферической поверхности SE внешняя нормаль п к границе области Die направлена против радиуса, поэтому
Найдем теперь прямое значение интеграла Гаусса при М е S, существование которого следует из теоремы 2. Возьмем число s, 0 <s <d, и опишем вокруг точки М сферу S? радиуса s. Эта сфера вырезает часть сг поверхности S. Оставшуюся часть поверхности обозначим через S\a. Часть сферы Se, лежащую внутри S, обозначим через S'e. Поскольку интеграл Гаусса сходится в точке М е S, то
(16)
О, если М вне S, WX(M) = < -2тс, если М на S,
-Аж, если М внутри S.
(17)
WX(M) = lim ff
f->0
S\adn
Точка M лежит вне области, ограниченной поверхностями S\a и S'; в
этой области функция 1 /г гармоническая и имеет непрерывные производные вплоть до границы. Тогда
rrdfn ггдГ1л
ff------dS+ ff—
JJ „ JJ
dS = 0.
(19)
\rj
s^dnyr) s'dn
Поскольку при s -» 0 часть сферы S'e приближается к полусфере, то переходя в равенстве (19) к пределу при е -» 0 с учетом (18), получим
д
WAM) = -lim ff-
1 Рдп
dS = -2л-.
На примере интеграла Гаусса видно, что потенциал двойного слоя, вообще говоря, терпит разрыв, когда точка М пересекает поверхность S. Оказывается это имеет место и для произвольной непрерывной плотности V(P).
Обозначим через Щ(Р0) и We(P0) соответственно предельные значения потенциала W(M) в точке Р0 е S, когда М -» Р0 изнутри, соответственно извне S. Прямое значение этого потенциала в точке Р0 обозначим через
щр0).
Теорема 3. Пусть S - замкнутая ляпуновская поверхность и v(P) -плотность, непрерывная на S. Тогда справедливы формулы :
Щ(Р0) = ЩР0)-2яу(Р0); (20)
