Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
We(P0) = W(Р0) + 2яу(Рй). (21)
Идея доказательства этой теоремы состоит в следующем. Пусть Р0 -произвольная точка S . Потенциал двойного слоя W(M) представим в виде
д_ ' дп
dS +
1Г(М)= ff[v(P)-i/(7>)]--
S ^V'/
+ НР0)Я jn {г )dS = W°{М) + V(Po) W1 {М) •
(22)
Пусть М —>¦ Р0 извне или изнутри поверхности S. Поведение интеграла fVj(M) Гаусса при М —> Р0 по теореме 2 известно. Оказывается, потенциал W0(M) сохраняет непрерывность, когда точка М пересекает S. Более
детальное доказательство этого факта можно найти в [8, гл. 14]. Тогда из (22) на основании (17) получим формулы (20) и (21).
Замечания. 1. Потенциал двойного слоя равномерно стремится к своим предельным значениям как изнутри, так и извне поверхности S .
2. Если производная по нормали к S потенциала двойного слоя имеет предел, когда М —» Р0 е S изнутри (извне), то существует равный ему предел извне (изнутри).
3. Если плотность v(P) на S не непрерывна, а лишь интегрируема, то
предельные значения потенциала двойного слоя существуют почти всюду на S и они определяются по тем же формулам (20) и (21).
Теорема 4. Если функция v(P) интегрируема на замкнутой кусочногладкой поверхности S, то потенциал двойного слоя W(M) стремится к нулю при М —» оо, причем справедлива оценка
\W(M)\<-^-, P*eS, A=\\\v(P)\dS .
ГМР* S
Доказательство. Применяя теорему о среднем к интегралу (5), имеем
| W(M) I < JJ I у(Р) I^ZldS = -4-,
s ГМР ГМР*
где Р * - некоторая точка S .
4. Свойства потенциала простого слоя
Теорема 5. Если плотность р(Р) ограничена и интегрируема на замкнутой поверхности S Ляпунова, то потенциал простого слоя (4) непрерывен во всем пространстве R3.
Доказательство. Если М <? S, то интеграл (4) является собственным и его непрерывность непосредственно следует из непрерывности функции 1/г. Пусть Р0 - произвольная точка S . Покажем, что функция W(M) непрерывна в этой точке. Но прежде всего покажем, что при М = Р0 интеграл (4) сходится. Для обоснования сходимости интеграла (4) достаточно исследовать его на части S0 поверхности S, находящейся внутри сферы с центром в точке Р0 радиуса d . Тогда, рассуждая аналогично доказательству теоремы 2, получим
JJ р(Р)— = JJ ¦ (23)
Г у г cos у
Поскольку функция р(Р) ограничена на S, то | р{Р) | < К = const и подынтегральная функция не превосходит величины 2К/г. Поэтому двойной интеграл из правой части (23) сходится абсолютно. Докажем теперь, что потенциал (4) непрерывен в точке Р0 е S. Пусть М - произвольная точка R3,
близкая к точке Р0. Вокруг точки Р0 построим сферу радиуса S <d . Обозначим через S' и S" части S, заключенные внутри и вне сферы. Интеграл (4) разобьем на два, взятые по S' и S", которые обозначим соответственно через
U'(M) и U"{M) . Тогда справедливо неравенство
| U(M)-U(P0) I < I U\M) I + I U'(P0) I + I U\M) -U\P0) I. (24)
Оценим первое слагаемое из правой части (24). Поскольку S < d , то на части S' можно ввести местную систему координат с центром в точке Р0.
Пусть р' - длина проекции отрезка, соединяющего точки Р и М , на плоскость ^ = О. Ясно, что р' < г — | МР |. Тогда
тм)1< rr!?Wds<K(rJ&b<2Ktf&,
? Г p'cosy и р'
где Q' - проекция поверхности S' на плоскость <^ = 0. Возьмем точку М столь близкой к Р0, чтобы расстояние | МР01 < 3)2. При этом, если Р е S', то р' < | МР | < | МР01 +1Р0Р \<3S/2.
Это означает, что плоская область Q' целиком лежит в круге радиуса р0 = 3S/2 с центром в точке М', где М' - проекция точки М на плоскость С, = 0. Следовательно,
\U'(M)\<2K
Р'<Ро Р
Переходя здесь к полярным координатам (р’,(р), имеем
In Pq
| U'(M) I < 2К \d(p fdp' = ЬпКд .
О о
Пусть s - произвольное положительное число. Возьмем 8 = ?¦/(18тгЛГ). Тогда, если | МР01 <S/2, то \ U'(M) \ <е/3. Последняя оценка верна и для М = Р. Поэтому | U'(P) | <е/3. Поскольку потенциал U”(M) непрерывен в точке Р0 е S, то по число s/З > 0 существует S > 0 такое, что из | МР01 < 8 следует неравенство \ U(M)-U(P0) \ < s/З. Выберем число S столь малым, чтобы оно было меньше, чем ?/(18жК). Тогда из (24) следует, что | U(M)-U(P0) \ < ?.
Пусть М - произвольная точка i?3 и п - внешняя нормаль к поверхности
S в точке Р0, проходящая через точку М. Если M&S, то производную
потенциала (4) по нормали п можно найти, дифференцируя под знаком интеграла
дп s дпм s г
Отметим разницу между интегралом (25) и потенциалом двойного слоя (5). В интеграле (5) <р = (гл п) = (г л пр), где п - единичный вектор внешней нормали в точке Р, которая является переменной точкой интегрирования, а в
