Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 268

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 262 263 264 265 266 267 < 268 > 269 270 271 272 273 274 .. 283 >> Следующая

2. Поверхности Ляпунова. Пусть в пространстве Rn(n> 3) дана некоторая поверхность Г, которая в каждой своей точке х = (х],х2,...,хл) имеет касательную плоскость, следовательно, нормаль. Пусть х0 еГ. Система координат {yx,y2, — ,yn), У которой начало совпадает с точкой х0, а ось уп направлена по нормали к Г в точке х0, называется местной системой координат с центром в точке х0.
Говорят, что Г <= Ск, где к - натуральное число, если существует число d >0, обладающее свойством: сфера радиуса d с центром в произвольной точке х0 е Г вырезает из поверхности участок, который в местной системе координат с центром в точке х0 можно задать в явном виде yn= f(yx, з^2,, уп_х), где f имеет все непрерывные производные до порядка к включительно в области Q; Q - проекция участка поверхности Г, заключенного в указанной сфере, на плоскость уп= 0.
Если при этом производные к - го порядка удовлетворяют условию Гельдера на О., т.е. для любых точек у и у" из Q. справедливо неравенство
|- D‘f(y¦) ] <ap(y',y-T, 0 < а < 1,
в котором а и a - положительные постоянные, не зависящие от выбора у', у”, причем показатель а и постоянная а Гельдера не зависят от выбора
dkf(y)
точки х0, то говорят, что Г е С , где D f (у) = ,
ду,' ду22 ...ду;:;
k = kx+k2+... + kn_x, у = (у1,у2,...,уя_1), р(у',у”) - расстояние между
точками у' и у".
Поверхности класса С’’“ называются ляпуновскими.
Пусть замкнутая поверхность S в пространстве R3 (п = 3) является ляпуновской. Это значит, что прежде всего она имеет в каждой своей точке касательную плоскость и внешнюю нормаль п. Далее существуют такие
постоянные d , a, a , где a,d > 0, 0<а<1, что если Р0 - произвольная точка S, то сфера Bd(P0) радиуса d с центром в точке Р0 вырезает из S часть S0, которая в местной системе координат с центром в точке Р0 может быть
задана уравнением ^ = f (^,r/) , (^,^)eQ. Если Р и Q - две произвольные точки части S0 и / - любое направление на плоскости ^ = 0, то
mn df(Q)
< ар
(6)
di di
где Р' и Q' - проекции точек Р и Q на плоскость t?=0, р' =\P'Q'\ -расстояние между точками Р' и Q' из Q . Поскольку плоскость ? = 0 касается
поверхности S в точке Р0, то /(0,0) = 0, —/(0,0) = 0. Пусть Р = (<!;,г/,?) -
81
любая точка S0. Расстояние между Р0 и Р обозначим через г, г = \ Р0Р \, через р обозначим расстояние между точками Р0 и Р'. Тогда
Р2=42+Т12, г2=42+Т12+с2-р2+С2-
Полагая в (6) Q = P0, найдем оценку для частных производных /(?,77) :
df(P')
81
<а ра
и тем более
df(p’) <а ра <ага, df(P')
94 drj
<ара <ага.
(7)
(8)
Оценим величину С, = /(?,77), когда PeS0. На отрезке между точками Р0 и Р' возьмем переменную точку Q'. Пусть р0 = | Р0 Q' | - расстояние между точками Р0 и Q . Тогда в силу оценки (7) имеем
КНЛЛН JT-dPo Air dp^“)p:dp,=cp-\ с=— (9)
О др0 о др0 J а + 1
Неравенство (9) позволяет оценить г через р :
2 J / „2 , 2 2а+2 . „2 j2а\ „2
г =р+С,<р+ср = (1 + с а ) р .
В определении поверхности Ляпунова радиус d можно взять достаточно малым; пусть он таков, что
ada < 1. (10)
Тогда подавно cda < 1 и окончательно получим г < л/2р <2р.
Обозначим через пр и пр внешние нормали к S в точках Р и Р0. Пусть Ре S0 и найдем оценку | cos(r,np) |, где через г обозначен вектор с началом в Р0 и концом Р. Поскольку
С
COS (г,Пр) - COS (г,<^) = —
г
и отсюда в силу оценки (9), получим
\cos(r,np)\<cra. (11)
Поменяв здесь местами точки Р0 и Р, получаем также важную оценку
| cos (г, пРо) | < сга . (12)
Как известно (см. § 21, п. 1, гл.1),
cos г = COS (п„ О = (1 + ft + f" У'!\ отсюда на основании (8) и (10) получим
cos/= (1 + а2/92“)”1/2 ^(1 + a2d2a)>-\=> — . (13)
V2 2
3. Свойства потенциала двойного слоя. Рассмотрим потенциал двойного слоя (5) с непрерывной на поверхности S Ляпунова плотностью v(P) , где производная берется по направлению внешней нормали п к поверхности S в точке Р = (^,г],^), вектор г направлен от точки M(x,y,z) к точке Р,
<Р = (глпр).
Теорема 2. Если функция v(P) ограничена и абсолютно интегрируема на ляпуновской поверхности S, то потенциал двойного слоя (5) определен во всем пространстве R3.
Доказательство. Если М <? S, интеграл (5) является собственным и его
непрерывность непосредственно следует из непрерывности функции —(l/г).
дп
Предыдущая << 1 .. 262 263 264 265 266 267 < 268 > 269 270 271 272 273 274 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed