Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
i = l, п , приводится к каноническому виду
Q = iai 4] . «,-е{-1, 0 ,1}. (3)
<=1
Причем согласно закону инерции число положительных, отрицательных и равных нулю коэффициентов формы (3) являются инвариантами неособенных линейных преобразований.
Определение 1. Когда все ai = 1 или at=-1, i = l, п, т.е. когда форма
(2) соответственно положительно или отрицательно определена, то
дифференциальное уравнение (1) называют эллиптическим в точке х0 е G.
Если один из коэффициентов at отрицателен, а все остальные положительны (или наоборот), то дифференциальное уравнение (1)
называют гиперболическим в точке х0 е G.
В случае когда I (\<1 <п-\) коэффициентов а1 положительны, а
остальные п — 1 отрицательны, дифференциальное уравнение (1) в точке х0 называют ультрагиперболическим.
Если хотя бы один из коэффициентов ai =0, то дифференциальное
уравнение в точке х0 называют параболическим. При этом если остальные
коэффициенты одного знака, то дифференциальное уравнение (1) в точке х0 называют параболо-эллиптическим; если же остальные коэффициенты имеют разные знаки, то дифференциальное уравнение (1) в точке х0 называют параболо-гиперболическим.
Говорят, что в области G своего задания уравнение (1) является уравнением эллиптического, гиперболического и параболического типа, если оно соответственно эллиптично, гиперболично и параболично в каждой точке области G.
Если в различных частях области G уравнение (1) принадлежит различным типам, то говорят, что уравнение (1) является уравнением смешанного типа в данной области G .
Пример 1. Рассмотрим п- мерное уравнение Лапласа
= =0. (4)
г=1
которое определено во всем пространстве R".
Составим соответствующую квадратичную форму
Q(k\ Д 2>---Д п) = ’
i=1
Г1, i = j, ------
так как A r = 1 и поэтому а. = 1, i = l, п. Следовательно, уравнение
[ 0, i ф j
(4) является эллиптическим во всем пространстве Rn.
Пример 2. Рассмотрим п- мерное волновое уравнение
2 я 2 П u(x,t) = ult-a Y,uxx ~utt~a Лм = 0, (5)
i=i
которое определено в пространстве Rnx+], х = (х1,...,хп).
Составим соответствующую квадратичную форму
Q (А, /12,..., Л „ Л,„) = t (га1 Л ?) + А.1, = Л1, - ± а2 ЛI
1=1 (=1
После замены ^ = a , i = l, п, ?п+1 = Лп+1 квадратичная форма Q примет вид
- til
j=i
Здесь один коэффициент положительный, все остальные коэффициенты
гиперболического типа во всем пространстве Rn+1.
Пример 3. Рассмотрим п - мерное уравнение теплопроводности, заданное
в R
п+1
X, t
ul-a1Au = ul-a1YJuxx =0.
/=1
Составим квадратичную форму
(6)
Q(AX ,Л2,...,Лп,Ап+1) = -а2?Л*+0-Л11 , ai = -a2 < 0, /=1,и, ап+1 = 0.
1=1
Таким образом, уравнение (6) является уравнением параболического типа
во всем пространстве Rn+1. Используя критерий Сильвестра о положительной определенности квадратичных форм, мы можем, не приводя квадратичную форму (2) к каноническому виду (3), утверждать, что для эллиптичности дифференциального уравнения (1) в области, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы
Аи А^2 А21 А22
х2п
чД-1
(*)
*п2 ••• пп J
были положительны (см. гл. 1, § 16, теорему 3).
В случае уравнения второго порядка от двух переменных х, = х и х2 = у уравнение(1) примет вид
А (*» У)ихх + 2В (х> У) иху + с (Л У) иуу + / (*> У,и, их,иу ) = 0. (7)
Соответствующая квадратичная форма равна
Q(Al,A2) = A% + 2BAlA2 + CAl. (8)
Если А Ф 0 , то квадратичную форму (8) можно представить в виде
' *•'>’ В2-АС •’ ,9)
Q(Al,A2) - А Я[+ —
V А
В1-АС _2
—;;— 1 ¦
Поэтому квадратичная форма (8) положительна или отрицательно определена в точке М0 = (х0,у0) е G, если D(M0) = В2 - АС < 0 . В самом деле, полагая в (9)
А.+-А,
1 А ч
получим
Q = -
%2 +%1 , если А> 0, - %2 - ?>2 , если А < 0 .
Следовательно, если D(M0)< 0, то уравнение (7) в точке М0
принадлежит эллиптическому типу.
Пусть D (Л/0) = В2 - АС > О. Тогда после замены
квадратичная форма (9) принимает вид
т.е. один из коэффициентов а;., г = 1,2, формы Q положителен, а другой отрицателен. Таким образом, в точке М0 уравнение (7) принадлежит гиперболическому типу.
