Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Пусть D(M0) = 0. Тогда заменой
Отсюда видно, что один из двух коэффициентов формы Q равен нулю, а другой отличен от нуля. Значит уравнение (7) в точке М0 является уравнением
параболического типа.
Поэтому в случае уравнения (7) классификация уравнения определяется
знаком дискриминанта D = В2 — АС.
Определение 2. Если в точке М0 е G:
1)D(M0)< 0, то в этой точке дифференциальное уравнение (7) называется уравнением эллиптического типа;
2) D(M0) = 0, то в этой точке дифференциальное уравнение (7) называется уравнением параболического типа;
3) D(M0) >0, то в этой точке дифференциальное уравнение (7)
называется уравнением гиперболического типа.
Пример 4. Определить тип дифференциального уравнения в частных производных
Решение. Прежде всего заметим, что в примерах а) - д) коэффициенты дифференциального уравнения в частных производных при производных второго порядка постоянные, поэтому тип этих уравнений определяется во всем
квадратичная форма (9) приводится к виду
+ 0 • , если А > 0,
- %2 + 0 • , если А < 0 .
а) ик+2иху-2ик+2иуу + вип+хУи* =°;г) и*х-2иху-3иуу+их =0;
б) Аи^ ~2wyz -cosx uy-ezuz =0; д) уихх+иуу= 0.
в) ихх + 2иху ~2их, +2иуу + 2ия = 0:
пространстве.
а) Согласно изложенной выше теории составим данному уравнению квадратичную форму
0(4,4,л3) = ^+2л,л2-2а1л3 + 2%+6%
соответствующую (10)
и методом выделения полных квадратов приведем ее к каноническому виду
Q = 2 А2 —2 А3 —2 А2 А3 + + А3 + +
+ 2A2A3+?3+4% = (Л1+Я2-Л3)2 +(Я2+Л3)2 + 4^ .
Полагая здесь
Я^+ Я2-Я3, ^2= Л2+Я3, =2Aj,
получим
G = ?2 + ?+?,
следовательно, дифференциальное уравнение а) в i?3 является уравнением эллиптического типа.
В этом случае можно было воспользоваться критерием Сильвестра о положительной определенности квадратичных форм. Для этого для данного уравнения составим аналог матрицы (*)
ч Л12 А > ( 1 1 -i ^
Л13
Л21 А22 ^23 = 1 2 0
•^32 А 0 6,
л33
и вычислим все главные диагональные миноры
Ах д. 1 1
> = 1>0. а2 = 1 ] 12 =
II
1 11 Z ^21 ^22 1 2
Л, А12 А13 1 1 - ¦1
А3 = ^21 А22 ^23 = 1 2 0 -
А31 А32 Aj3 -1 0 6
= 1>0,
= 4>0.
Поскольку все определители Д;, г = 1,2,3, положительны, то в силу теоремы
Сильвестра форма (10) положительно определена, поэтому данное дифференциальное уравнение является эллиптическим во всем пространстве,
б) В этом случае форма имеет вид
Q (4, ^, Я,) = 4 42 - 4 4 ^ - 2 ^ Я, =
= (2Л1)2-2-2Л1Л1+%-%+2Л2Я3-%+% =
= (2А1-Л2)2-(Я2-Я3)2+^ = g - ? + ?,
=A2-Aj, ?3 = Я3. Отсюда видим,
уравнение является гиперболическим
что данное во всем
где ? = 2Я, - 4, дифференциальное пространстве.
в) Составим соответствующую квадратичную форму и приведем ее к каноническому виду
()(Л1,А7,А3) = %+2А1Л2-2Л1А3+2%+2% =
= (Я1+Л2-Л3У+(Я2+ЯЭУ = ?2+&2+0-?2,
где ^1=Я1+Я2-Яj, = Я2+Л3, (^з = Лз. Один из коэффициентов
канонической формы равен нулю, а остальные отличны от нуля. Следовательно,
данное дифференциальное уравнение является параболическим в R3.
г) В этом случае данное дифференциальное уравнение в частных производных рассматривается на плоскости переменных х и у и поэтому
воспользуемся определением 2. Из уравнения находим А(х,у) = 1, В(х,у) = -1, С(х,у) = - 3. Тогда D = В2 - АС = 4>0 при всех (x,y)ei?2.
Значит, данное уравнение является гиперболическим на всей плоскости R2.
д) Для данного уравнения А(х,у) = у, В{х,у) = 0, С(х,у) = 1, поэтому
D = В2 - АС = -у. Следовательно, при у > 0 уравнение принадлежит эллиптическому типу, при у < 0 оно является уравнением гиперболического типа, а при у = О (D = 0) становится уравнением параболического типа. Таким
образом, данное уравнение на плоскости R2 является уравнением смешанного типа.
§ 9. Приведение к каноническому виду дифференциального уравнения второго порядка от двух независимых переменных. Понятие характеристики
Рассмотрим дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, линейное относительно старших производных
А(х,у)ихх + 2В(х,у)иху + С(х,у)иуу +F(x, у, и, их ,иу) = 0 (1)
в области Gci?2, где А(х,у), В(х,у), С(х,у) - заданные дважды
непрерывно дифференцируемые в G функции, F - заданная функция от своих аргументов.
Будем предполагать, что коэффициенты А, В и С не обращаются одновременно в нуль в области G , т.е. при любом (х, у) е G
