Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
1 it 1
^T0uxuxtdx = T0uxut - J Г0 и( = - J Г0 и( dx. (13)
О 0 0 о
Подставляя интеграл (13) в (12) на основании (6), получим
i i
E'(t) - | ut(putt -T^u^dx = | utLudx = 0.
о 0
Отсюда следует, что E(t) = const при всех fe[0,7J], поэтому при ненулевых начальных условиях (4)
1 ^
E(t) = E(0) = - j[pu2(x,0) + T0u2(x,0)]dx =
2 о
Последнее равенство и показывает, что полная энергия свободных поперечных колебаний закрепленной на концах струны остается в течение всего процесса колебаний постоянной и равной ее начальной энергии.
Теперь нетрудно доказать, что u(x,t) = О в G . Для этого воспользуемся условиями (7) и (8). Тогда из равенства (14) следует, что
E(t) = \)lpu;+T,ul]dx = 0.
о
Последнее тождество возможно только тогда, когда ux(x,t) = О и ut(x,t) = 0 в замкнутой области G. А это означает, что u(x,t) = const на G. Но так как и(х, 0) = 0 , то u(x,t) = 0 на G , т.е. функции и,(х,t) = и2(х,t) в замкнутой области G .
2. Существование решения. Построение решения задачи (2) - (5) проведем в трех этапах. На первом этапе рассмотрим случай, когда концы струны жестко закреплены и колебания являются свободными, т.е.
/г,(?) = h2(t) = 0 и p(x,t) = 0. На втором этапе построим решение задачи для
вынужденных колебаний однородной струны, закрепленной на концах. Наконец на третьем этапе покажем построение решения самой задачи (2) - (5).
2.1. Свободные колебания струны, закрепленной на концах. В этом пункте будем искать решение u(x,t) уравнения
и„-а2ихх=0, а2=Т0/р, (15)
в классе функций С2 (G), удовлетворяющих начальным условиям (4) и однородным граничным условиям :
u(0,t) = u(l,t) = 0, 0<t<Tx. (16)
Для построения решения задачи (15), (16) и (4) применим метод разделения переменных, основанный на теории рядов Фурье. Частные решения уравнения (15), не равные нулю в области G, будем искать в виде произведения
u(x,t) - X(x)T(t) , (17)
удовлетворяющие нулевым граничным условиям (16). Подставляя выражение (17) в уравнение (15) и разделяя переменные, получим
Г(П Х”(х)
-¦ - = —— = -Л . 18)
a T(t) Х(х)
Левая часть равенства (18) зависит только от t, а правая часть - только от х, поэтому равенство (18) возможно тогда и только тогда, когда правая и левая части представляют одну и ту же постоянную -Л. Тогда из (18) получим два обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами :
T"(t) + a2AT(t) = 0, 0<t <ТХ, (19)
Поскольку T(t)^ О при t g (0,Zj) , то из (17) и (16) следует, что
Х(0) = Х(1) = 0. (21)
Таким образом, для нахождения функции Х(х) приходим к следующей задаче на собственные значения (см. гл. 4, § 8): найти такие значения параметра X, при которых существуют ненулевые решения Х(х) дифференциального уравнения (20), удовлетворяющие однородным граничным условиям (21). Такую задачу называют спектральной или задачей Штурма - Лиувилля. Те значения X, при которых существуют ненулевые решения задачи (20) и (21), называются собственными значениями, а соответствующие им решения - собственными функциями спектральной задачи (20) и (21).
Далее найдем собственные значения и соответствующие собственные функции задачи (20) и (21). Рассмотрим отдельно три случая: Х<0, /1 = 0, Х>0.
1. Пусть Х = -к2 <0. Общее решение уравнения (20) определяется по формуле (см. гл. 3, § 4)
Х(х) = С,екх + С2екх, где С, и С2 - произвольные постоянные. Удовлетворяя общее решение граничным условиям (21), получим однородную систему относительно С, и С2:
(Х(0) = С1+С2 = 0,
\x(l) = Cielk + С 2ечк =0.
Поскольку определитель данной системы отличен от нуля, то она имеет единственное нулевое решение Cj=C2=0. Тогда имеем Х(х) = 0, что не годится.
2. При Х = 0 общее решение уравнения (20) имеет вид
Х(х) = Cj +С2х и на основании граничных условий (21) получим
Cj + С2 ‘0 = 0, с 1 + с2 • / = о.
Отсюда С, = С2 = 0 и снова Х(х) = 0.
3. Пусть Х = ц2 > 0, /и>0. Тогда общее решение уравнения (20)
находится по формуле
Х(х) = Cj cos [л х + С2 sin ц х.
Данное решение, удовлетворяя граничным условиям (21), равно Cj-l + C2-0 = 0, С, cos/xl + С2 sin// / = 0 .
