Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
| А (х, у) | +1 В (х, у) | +1 С (х, у) | > 0 .
Введем вместо переменных (х,у) новые независимые переменные
(?.17):
(2)
[;ti = ti(x,y),
где 14(х,у) и rj(x,y) - дважды непрерывно дифференцируемые функции в области G , причем якобиан отражения (2) отличен от нуля в области G :
m,rj)
D(x,y)
dl d? dx dy dr) dr) dx dy
Тогда систему (2) (см. гл.1, § 17, п. 1) можно однозначно разрешить относительно х и у в некоторой области точек (%,у). При этом полученные функции х = x(g,y), у = у(^,У) будут также дважды непрерывно дифференцируемыми функциями от ^ и Г).
Далее будем считать, что функция и(х,у) е C2(G). Вычислим производные функции и по новым переменным ? и Г). На основании теоремы
о дифференцировании сложной функции (см. гл.1, §15, п. 2, теорему 4; п. 6) имеем :
их = и* ? +и„ Ух’ иу = и4 +ипУу-, Uxx = (Ux)x = («? ? + Ur, Ух)х = («? ?х)х+(ип Ух)х = = {U4)xZx+Ut &*+(«„)**7x+Un 1)„ =
= u44 &+ицц t)x2+2uin Т)х+и4 Г1„\
Uyy = (цу)у = {и4 ^у +ип Чу)у = (и4 4у)У +(“, Vy)y =
= (и4 ) у Zy + и4 4„ + (ип ) уГ)у + ич Т)уу =
= “44 4у'2 +Unn V у +2 «4л iУ У У + "4 Zyy + Wyy-иху = (и4 & + Ur, Ух)у = (и4 4х)у + К ^х)у =
(М4)у & + и4 ?ху + К)у Чх + ип Уху =
= U44 & 4У + и4п (& Уу + Ух 4у ) + ипп Vx У у + и 4 ?ху + ип уху .
Итак, производные функции и выражаются через производные от новых переменных Е, и у по следующим формулам :
“л = “f?c+“, Ух>
иу=и^у+ип Т)у,
= «й ?2+2 ИЛ ? Т)х + ипп Г)2 + щ + ищ Г)а, (4)
М» = % & + 2“й ? Пу + 7У2 + «? 4>у + Ч, Ууу .
_»,>¦ = % ? + Wf, (? У у + Ух 4у) + Ух У у + С + ип % ¦
Подставляя значения производных из (4) в уравнение (1), получим
Л(?,?]) и& +2Ву) uf4+C(g,r)) u^+Fig, у, и, и(,ич) = 0, (5)
где
А(4,т]) = А^2 + 2В4х4у + С4у2,
C(^,tj) = Atix2+2B т]х Т]у + Ст]2,
B(^t1) = A^xtlx+B(^xtly+^yrlx) + C^rly.
Непосредственной подстановкой нетрудно показать, что
В2 ~ А С = (В2 - АС)(^хТ]у -^уТ]х)2 =D-J2.
(7)
Из равенства (7) видно, что преобразование (2) и (3) независимых переменных не меняет типа уравнения (1).
Поставим следующую задачу: как выбрать переменные % и tj , чтобы уравнение (1) в этих переменных имело наиболее простую форму?
Для решения данной задачи попытаемся выбрать функции ? = ?(х,у) и
J] = rj(x,у), так чтобы обратить в нуль некоторые из коэффициентов А (?,?]) ,
B(?,rj), С(^,Т]). Заметим, что вопрос об обращении в нуль коэффициентов
А(?,Г}) и C(^,rj) эквивалентен разрешимости дифференциального уравнения в частных производных первого порядка
Лемма. Пусть функция z = <р (х, у) е С1 (G0) (G0^G)u <ру (х,у) *0 в
области G0 (или <рх(х,у)ф 0 в области G0). Функция z = <p(x,y) является частным решением уравнения (8), тогда и только тогда, когда равенство (р (х, у) = С0, где С0 = const, представляет собой общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения
Доказательство. 1. Пусть функция z = <p(x,y) в G0 является частным решением уравнения (8). Уравнение <р(х,у) - С0 является общим интегралом уравнения (9), если переменная у, определенная из неявного соотношения <р(х,у) = Сй, удовлетворяет уравнению (9). По условию функция <р(х,у) непрерывна вместе со своими частными производными р (х,у) и <рх(х,у) в рассматриваемой области G0, причем <р (х, у) Ф 0 в области G0. Тогда по теореме о неявной функции (см. гл.1, §17, п.1) уравнение <р(х,у) = С0 определяет у как функцию, зависящую от х и С0. Пусть у- f(x,C0). Тогда на основании той же теоремы производная функции у = f(x,C0) определяется следующим образом:
A z2+2Вzz + Cz2= 0 .
Л л У У
(8)
A (dy)2 — 2 В dxdy + С (dx)2 = 0.
(9)
dy _ <РХ(Х’У)
A(dy) -2Bdxdy + C(dx) =
Л2
dy
dx
¦2 В
<рЛх’У)
<Pv(x,y)
2 В
<рАх’У)
<Ру(Х’У)
Лу_
dx
+с
(dx)2
+ С
(dx)2 = 0,
y=f(x,C0)
так как при всех (х, у) е G0 справедливо равенство
А<РХ (х,У)~2В<рх(х,у)(р(х,у) + С<ру (х,у) = 0.
или
/ ^ 2 ( \ +
<рЛх’У) -2 В <рАх’У) о
III
о
, <Ру(Х>У)у , <Ру(Х>У)у
2. Пусть равенство <р(х,у) = С0 есть общий интеграл уравнения (9) в области G0. Требуется доказать, что при всех (х,у) е G0
А <Рх2(х,У) + 2В <рх(х,у) <ру(х,у) + С<ру2(х,у) = 0 .
Пусть (х, у') - произвольная точка области G0. Через данную точку будет проходить какая - нибудь интегральная кривая уравнения (9). Выделим эту интегральную кривую, полагая <р(х', у') = С'. Тогда уравнением этой кривой является выражение <р(х, у) = С' или у = / (х,С'). При этом у - / (х', С'). Для всех точек данной интегральной кривой выполняется равенство
