Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
= [u(x,y,z,t + At)-u(x,y,z,t)] c(x,y,z) p(x,y,z) Ax Ay Az, где p(x,y,z) - плотность тела, c(x,y,z) - теплоемкость тела, которые будем считать непрерывными функциями.
На основании теоремы Лагранжа имеем
03 At c(x,y,z) p(x,y,z) Аж Ау Az, t'e(t,t + At)- (4)
dt
Составим уравнение баланса выделенного тепла для тела V. Ясно, что бз = Q\ + 0.2 ¦ Тогда с учетом их выражений (2) - (4), получим du(x,y,z,t')
dt
с (х, у, z) р (х, у, z) Ах Ay Az At
кдхк
k{x',y,z)
du(x',y,z,t)
dx
+
ду
k(x,y',z)
+ -
dz
k(x,y,z')
, du(x,y,z',t)
dz
v
))
du(x,y',z,t) 5^
+
Ax Ay Az At +
+ F(x,y,z,t) Ax Ay Az At.
Сократив полученное равенство на AxA^AzA^O и переходя к пределу при Ах—>0, Ау —» 0 , Az—>0, А? —» 0, будем иметь
du(x,y,z,t)
г \ f \ди д c(x,y,z) p{x,y,z)— = —
dt dx
k(x,y,z)
+ -
dy
k(x, y,z)
du (x, y,z,t) dy
d
+ — dz
k(x, y, z)
dx
du(x, y,z,t) dz
+
+ F(x,y,z,t) =
= div (kgradu) + F(x,y,z,t), (5)
где понятие дивергенции вектор-функции определено в п. 4 §21 гл. 1, а градиента в п. 3 § 15 гл. 1.
Уравнение (5) называется уравнением теплопроводности неоднородного изотропного тела.
Если тело однородное, то c(x,y,z) = const, p{x,y,z) = const, к (x, у, z) = const,
div (к grad и) = к div (grad и) - к
дх
г дил \дхj
ду
'ди*
dz
г дил \dz j
= k(uja+uJV+uB) = kAu,
где Au=uxx+uyy+uzz называется оператором Лапласа. Тогда уравнение (5)
примет вид
и, =а\ихх+и +uzz) + f (х,у,z,t),
где а2 =к/ср, f (х, у, z, t) = F(x, у, z, t)/cp.
Если в рассматриваемом однородном теле нет внешних источников тепла, т.е. F(х,у,z,t) = О, то получим однородное уравнение теплопроводности
и, =a2(uxx+uyy+uJ-
В частности, когда температура и зависит только от координат jc, _у, *, что, например, имеет место при распределении тепла в тонкой однородной пластинке, то уравнение (5) переходит в следующее уравнение:
ut = a2(uxx+uyy) + f(x,y,t), и =и(х,у,t).
Для тела линейного размера, например, для однородного стержня уравнение теплопроводности имеет вид
ut = аи^ + /(х, t), и=и (х, t).
Постановка начально-граничных задач
Чтобы найти температуру внутри тела в любой момент времени недостаточно одного дифференциального уравнения в частных производных (5). Необходимо, как это следует из физической постановки задачи, знать еще распределение температуры внутри тела в начальный момент времени (начальное условие) и тепловой режим на границе S рассматриваемого твердого тела (граничное условие).
Граничные условия могут быть заданы по-разному.
1. В каждой точке поверхности S тела задается температура
и(х, у, z, t)\s=y/x(x, у, z, t), (6)
где {х,у,z) е S, t> 0 и y/x(x,y,z,t) -заданная функция.
2. На поверхности S задается тепловой поток, т.е. количество тепла, проходящего через единицу площади поверхности за единицу времени. Тогда из закона Фурье (1) будем иметь
Я =
Q
AS At
= -к
ди
dN
Откуда
ди
dN
= у/2{х, у, z, t) = -q(X’ y-,z,t\ (x,y,z)eS, t> 0, (7)
s k(x,y,z)
и y/2(x, y, z, t) - заданная функция.
3. На поверхности S происходит теплообмен с окружающей средой, температура которой известна. Тогда граничные условия могут быть записаны в виде
ди
У dN
+ h(x,y,z,t)u
= y/3(x,y,z,t), (x,y,z)eS, t> 0, (8)
ij
где h (x,y,z,t), y/3(x,y,z,t)~ заданные функции.
Таким образом, задача о распространении тепла в изотропном твердом теле ставится следующим образом : найти в цилиндре G
G = Dx(0,T) = {(х,у,z,t) |(х,у,z) е D с R3, t е {О,Т)} решение u(x,y,z,t) уравнения (5), удовлетворяющее начальному условию
u(x,y,z,t)\!=0=<p(x,y,z), (x,y,z)eD (9)
и одному из граничных условий (6), (7), (8).
Математические задачи (5), (6) и (9); (5), (7) и (9); (5), (8) и (9) называются основными начально-граничными задачами для дифференциальных уравнений параболического типа, в частности, для уравнения теплопроводности, при этом задача (5), (6) и (9) называется первой, задача (5), (7) и (9) - второй, задача (5), (8) и (9) - третьей начальнограничными задачами для дифференциальных уравнений параболического типа.
