Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
§ 5. Задачи, приводящиеся к уравнению Пуассона и Лапласа. Постановка основных граничных задач
В § 4 было показано, что уравнение распространения тепла в изотропном однородном теле имеет вид
и, =a2(uxx+uyy+uzz) + f(x,y,z,t). (1)
Допустим теперь, что температура u(x,y,z,t) в каждой точке (x,y,z) установилась, т.е. она не меняется с течением времени t. Тогда и(х,у, z,t) = и(х,у, z) и иг= 0 и дифференциальное уравнение (1) принимает вид
/
А и = ихх+и +ив=-------- = g(x,y,z). (2)
a
Дифференциальное уравнение (2) называется уравнением Пуассона. При отсутствии внешних источников тепла внутри тела уравнение (2) переходит в уравнение Лапласа
Au = uxx+uyy+uzz=Q. (3)
Таким образом, уравнению Пуассона удовлетворяет установившаяся в
однородном теле температура. Для определения функции u(x,y,z) теперь уже не нужно задавать начальное распределение температуры, а достаточно задать одно граничное условие, не зависящее от времени.
Постановка основных граничных задач
1. Задача Дирихле, или первая граничная задача. Задача определения решения уравнения (2) в области D по его значениям на границе S области D называется задачей Дирихле, или первой граничной задачей, т.е. найти решение u(x,y,z) уравнения (2) в области D, удовлетворяющее граничному условию
u(x,y,z) |^= щ{х,у,г), (x,y,z)eS = dD,
где 1//г(х, у, z) - заданная функция.
2. Задача Неймана, или вторая граничная задача. Найти в области D решение уравнения (2), удовлетворяющее граничному условию
ди
dN
= y/2(x,y,z), (x,y,z)eS,
s
где y/2(x,y,z) - заданная на границе S функция.
3. Задача Пуанкаре, или третья граничная задача. Найти в области D решение уравнения (2), удовлетворяющее граничному условию
ди
dN
+ a(x,y,z)u = р (х, у, z), (х, y,z)e S,
s
где функции a(x,y,z) и P(x,y,z) - заданные функции.
Если в указанных задачах решение ищется в области D внутренней (или внешней) по отношению к поверхности S , то соответствующую задачу называют внутренней (или внешней) граничной задачей.
Отметим, что не только установившиеся тепловые процессы в однородном твердом теле описываются уравнениями (2) и (3), но и другие стационарные физические задачи сводятся к этим уравнениям. В качестве второго примера рассмотрим потенциальное течение жидкости без источников. Пусть внутри тела D с поверхностью S имеет место стационарное течение несжимаемой жидкости (плотность р = const) с заданной скоростью о(х, у, z). Если течение жидкости невихревое, то, как известно, векторное поле скоростей о является потенциальным, т.е. градиентом некоторого скалярного поля <р(х, у, z) :
о = grad ср, (4)
где <р называется потенциалом скорости. Если внутри тела D отсутствуют источники, то
div v (х, у, z) = 0 в D . (5)
Теперь, подставляя (4) в тождество (5), получим
div (grad <р) = Ар = 0 в D .
Отсюда следует, что потенциал скорости несжимаемой и невихревой жидкости удовлетворяет уравнению Лапласа.
Пусть в однородной электропроводящей среде D имеется стационарный ток с объемной плотностью j (х, у, z) . Если в среде D нет источников тока, то
div j(x, у, z) = 0 в D. (6)
Электрическое поле Е определяется через плотность тока по закону Ома
где Л - проводимость среды. Поскольку процесс протекания тока в среде D является стационарным, то электрическое поле является потенциальным или безвихревым, т.е. существует скалярное поле <р(х, у, z), заданное в области D такое, что
? = grad^. (7)
Аналогично на основании (6) и (7) следует, что
Д<р(х, y,z) = О,
т.е. потенциал электрического поля стационарного тока удовлетворяет уравнению Лапласа во всех точках, где отсутствуют источники тока.
Отметим, что потенциал поля тяготения также удовлетворяет уравнению Лапласа в точках, где отсутствуют массы.
§ 6. Понятие о корректно поставленной краевой задаче для дифференциальных уравнений. Примеры некорректных краевых задач
В предыдущих параграфах мы видели, что краевые задачи состоят в отыскании решений дифференциальных уравнений в частных производных, удовлетворяющих определенным дополнительным условиям. Такими дополнительными условиями чаще всего являются граничные условия, т.е. условия, заданные на границе рассматриваемой среды, и начальные условия, относящиеся к одному моменту времени, с которого начинается изучение физического явления. Найденные решения физических или иных задач естествознания дают нам приближенное математическое описание ожидаемого хода или вида физических явлений. Это связано с тем, что при построении математической модели физических и других задач с помощью дифференциальных уравнений в частных производных мы вынуждены абстрагироваться от многих сторон этой задачи, отбрасывать многое как несущественное, выделять то, что кажется главным. Поэтому результаты, полученные при математическом моделировании физических и других задач, не являются точными. В связи с этим вводится следующее понятие корректности постановки краевой задачи.
