Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Третий случай. Пусть d = b2-ac < 0 в области G. Тогда в этой области уравнение (1) является уравнением эллиптического типа. Будем считать, что коэффициенты А, В и С уравнения (1) являются аналитическими функциями в области G. Тогда правые части уравнений (11) и (12) также
J =
ф о,
являются аналитическими функциями от переменных х и у. По теореме Коши - Ковалевской уравнение (11) имеет аналитическое решение <р (х, у) = <рх О, у) + i <р2 (х, у) = const в малой окрестности G0(x0,y0) точки такой, что А(х,у)ф 0 и
\(Рх(х’У)\ + \(Ру(.х’У)\>0 в Go-
13 преобразовании (2) положим % = срх(х,у) и Tj = <p2(x,y), причем они удовлетворяют условию
<Ри <Ply
J =
= <Plx<P2v-<Ply<P2x*0 В G0-
(Р2х (Р2у
Действительно, допустим, что в некоторой точке G0
J = d<PL df2_ _ d(Pi d<P2 = Q дх ду ду ду
Тогда будем иметь
dpL:dpL = dp1:dp1 иш <р±=(р^ (16) дх ду дх ду <р1у (р2у
Поскольку функция <р(х,у) является аналитической в области G0, то для нее справедливы условия Эйлера - Даламбера (см. гл.1, § 23, п.4):
дер, _ д(р2 дер, _ д(р2
дх ду ’ ду дх
Отсюда
<Ри = <Р2у
(Рь (Р2х '
что противоречит равенству (16). Полученное противоречие доказывает, что якобиан J Ф О в G0.
Итак, имеем (p = <^ + irj и подставляя данное равенство в уравнение (8), получим тождество
^+ад2+2Я(^ + 117,)(^+117,) + С(^+117,)2в°.
Разделив здесь вещественную и мнимую части тождества, получим А?х2 +2В?Х ? + С?2 = Аг]х +2Вт]хг1у +Ст}у2,
A4xT}x+B(4xVy+4yr}x)+c^yT]y = 0.
Из последних равенств следует, что A(<^,rj)= и В(^,Т]) = 0, причем
А = С Ф 0, в противном случае получим противоречие с равенством (7). Разделив уравнение (5) на коэффициент А, получим
uii+ullll=F3(^,tj,u,u(,ull). (17)
Выражение (17) является каноническим видом уравнений
эллиптического типа.
При А(х,у) = С{х,у) = \ и В(х,у) = 0 уравнение (1) уже имеет
канонический вид (17).
Пример 1. Привести к каноническому виду уравнение
urr -2sinхит -cos2 xuxn, -cosjcwv =0. (18)
хх ху уу у
Решение. В случае уравнения (18) коэффициенты А(х,у) = 1,
В(х,у) = -sinjc, С(х,у) = -cosjc. Вычислим D = В2 - АС =
= sin2jc + cos2jc = l>0 при любом (х,у) е R2. Значит уравнение (19) является
уравнением гиперболического типа на плоскости R2. Согласно теории составляем уравнение характеристик (9):
(dy)2 +2 sin xdx dy-cos2 х (dx)2 = 0, отсюда в силу уравнений (11) и (12), получим
dy
dy .
— = -1-sinjc, dx
dx
= 1-sinjc.
Интегрируя последние уравнения, имеем
у = -jc + cosjc + c, или x + y-cosx^c,; y = jc + cosx + c2 или х — у + cosx = —с2. Введем новые переменные Е, и rj по формулам :
? = х +у-cosx, rj = x-y + cosx.
(19)
Вычислим производные иу, и^, и , и по формулам (4) и умножив эти производные на соответствующие коэффициенты из уравнения (18), сложим -cosx
У 5 '/ '
\2 , л /1 „’2 ч , .. /1 ¦___ч2
1
-COS2 X
-2sinjc
ихх = и„(1+sinjc) +2 и, (1-sin х) + и (1-sinjc) +
+ Ug COSх-иц COS* ,
Uyy=uu-2 вй + ии,
uxy = u& (1+ sin x)-2 sin x u?rj - unn (1 - sin x)
in
nn'
0 = w^.[ (1 + sinjc) -cos jc-2sinjc (l + sinjc)] +
+ 2wf;?[(l-sin2 jc) + cos2 jc + 2sin2 jc] +
+ unn [ (1 - sin jc)2 -cos2 jc + 2 sin jc (1-sinjc) ]-
-(wf — u ) cosjc + (wf -un)cosx. Отсюда вычислив выражения в квадратных скобках, получим
% = о ¦
(20)
Поскольку уравнение (20) легко интегрируется в явном виде (см. § 1), то отсюда находится формула, содержащая все частные решения уравнения (18). Действительно, на основании результатов § 1 общее решение уравнения (20) определяется формулой
u=f(^) + g(rj), (21)
где / и g - произвольные, один раз непрерывно дифференцируемые на числовой прямой функции. Возвращаясь в формуле (21) к старым переменным (х,у) по равенствам (19), найдем общее решение данного уравнения (18) и(х,у) = f (x + _y-cosx) + g(x-_y + cosx),
где уже / и g - произвольные функции из класса функций C2(R).
Отметим, что часто в случае дифференциальных уравнений гиперболического типа приведение уравнений к каноническому виду является одним из методов интегрирования таких уравнений.
§ 10. Первая начально-граничная задача для уравнения колебаний струны
*
В § 3 физическая задача об определении движения струны, закрепленной на концах, свелась к математической задаче. В этом параграфе приводится более четкая постановка этой задачи, доказательство единственности и существования решения.
