Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Из первого уравнения следует С; = 0, а из второго - С2 sin jul = 0. Постоянная С2Ф 0, так как в противном случае Х(х) = 0, поэтому sin // / = 0, т.е.
ц1 = 7тк, keZ. Таким образом, нетривиальные решения задачи (20) и (21)
существуют лишь при значениях
кп
Т
которые являются собственными значениями задачи. Этим собственным значениям соответствуют собственные функции
Хк = sin = si
sin-
кпх
т
определяемые с точностью до постоянного множителя.
При X = Лк общее решение уравнения (19) определяется по формуле
„ , . nkat . nkat
Tk(t) = ak cos—;— + bk sm-
l
где ak и bk - произвольные постоянные. Тогда функции
I
uk(x,t) = Xk(x)Tk(t) =
ak cos-
nkat
+ &*sin
nkat
sin-
nkx
~T
I I
по построению удовлетворяют в области G уравнению (15) и однородным граничным условиям (16) при любых ак и Ък. В силу линейности и однородности уравнения (15) любая конечная сумма решений uk(x,t) также будет решением уравнения (15). То же самое справедливо и для суммы ряда
i(x,0 = ?i
knat
к=1
I
+ Ък sin
кп at I
sm-
клх
I
(22)
если ряд (22) сходится равномерно на замкнутой области G и там его можно дважды почленно дифференцировать по х и t. Поскольку каждое слагаемое ряда (22) удовлетворяет нулевым граничным условиям (16), то этим условиям удовлетворяет и сумма ряда и (x,t). Остается определить постоянные ак и Ьк
так, чтобы удовлетворялись и начальные условия (4).
Формально продифференцируем ряд (22) по t:
Л . кпх sm-
ди _ yi кпа ^
Tt ~ h~T
- ак sin
knat , knat + bk cos-
l
I
I
(23)
Полагая в рядах (22) и (23) t = 0 и с учетом начальных условий (4), получим
. ip . knx ^ кпа . кпх
<Ръ(х)= 2^aksm——; <р1{х)= 2^ ——Ък&ш——. (24)
*=i * к=\ I I
Из теории рядов Фурье известно (см. гл.1, §11, п.4), что ряды (24) представляют собой разложение заданных функций ср0(х) и <ру(х) в ряд Фурье по синусам на
отрезке [0,/]. Коэффициенты ак и Ьк рядов (24) определяются по формулам :
2кпх ak=-)(P^x)sm—r-dx\ (25)
bk =
jVi (*)
. кл x , sm--------dx.
кла - I
(26)
Таким образом, решение задачи (15), (16) и (4) определяется рядом (22), где коэффициенты ак и Ък находятся по формулам (25) и (26).
Теорема 2. Если функция <р0(х) на сегменте [0,/] трижды непрерывно дифференцируема и удовлетворяет условиям
0>о(О) = Ро(О = О, 0>о'(О) = Ро(О = О, (27)
а функция фх{х) на [0,/] дважды непрерывно дифференцируема и
Pi (0) = ft (0 = 0, (28)
то функция и(х, t), определяемая рядом (22), имеет непрерывные
производные второго порядка в G и там удовлетворяет уравнению (15),
граничным условиям (16) и начальным условиям (4).
Доказательство. Интегрируя по частям три раза интеграл из формулы (25) с учетом условий (27), получим
й, = —
* /
rt\*
О - J
Аналогично интегрируя по частям два раза интеграл в формуле (26) на основания условий (28), имеем
Ь« =~Т
la
I
лк
клх , (IЛ
sm-------dx = -
l
к3
(30)
Поскольку функции ф*(х) и ф”(х) непрерывны на сегменте [0,/], то как
известно из теории рядов Фурье (см. гл. 1, §11, п. 4, теорему 22) в силу неравенства Бесселя следующие ряды сходятся :
+QO Л 1 +00 Л 1
- у j[^omW]2^; %Чк^~ j
*=1 * о *=!
Подставив (29) и (30) в ряд (22), получим
к л at рк cos--------
<рЦх)
dx.
и
л
I
+ qk srn-
knat
Т~
sm-
клх
~Г
(31)
(32)
Этот ряд при любом (x,t) из G мажорируется сходящимся рядом
. л ) к=1 к
поэтому ряд (22) в силу признака Вейерштрасса (см. гл. 1, § 11, п. 2, теорему 8) сходится абсолютно и равномерно в замкнутой области G . Следовательно, функция u(x,t) непрерывна на G как сумма равномерно сходящегося ряда (22).
Теперь покажем возможность почленного дифференцирования ряда (22)
по переменным х и t два раза. Для этого докажем, что полученные при
почленном дифференцировании ряды сходятся абсолютно и равномерно на G . Формально из (32) почленным дифференцированием составим ряды :
