Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 242

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 236 237 238 239 240 241 < 242 > 243 244 245 246 247 248 .. 283 >> Следующая

/ т \ 2
( dy^ ydxy
-2 В
dy
\dx;
+ С =
г л2
<рАх>у)
<Ру(х,у)
f 9А*>У)' <Ру(х,у)
+ С
= 0
при всех у - f (х, С'). Положив здесь х = х', будем иметь
А <рАх'’У') 2 <рАх’У) + С = 0
-2 В
к <Ру(Х',У'), к <Ру(Х',У ),
или
А (pl(x',y') + 2B (рх(х,у) (р (х',у) +С(р2(х',у') = 0.
Итак, доказано, что в точке (х',у) функция z = (p(x,y) удовлетворяет уравнению (8). В силу произвольности точки (х',у')е G0 следует, что функция <р(х,у) является решением уравнения (8) в области G0.
Обыкновенное дифференциальное уравнение (9) называется характеристическим уравнением для уравнения (1), а его решения -характеристиками уравнения (1).
Рассмотрим три случая в зависимости от типа уравнения (1).
Первый случай. Пусть d = b2-ac > 0 в области G. Тогда в этой
573
области уравнение (1) является уравнением гиперболического типа. Рассмотрим произвольную точку (х0,у0) е G, в окрестности которой уравнение (1) будем
приводить к каноническому виду. В этой точке А(х0,у0)Ф 0 или С(х0,у0) Ф 0, в противном случае уравнение (1) уже имеет канонический вид. Пусть А(х0,у0)ФО. Поскольку D> 0, тогда уравнение (9) распадается на
совокупность двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
dy В + yl~D
dx А dy b-4d
(11)
(12)
dx A
Поскольку правые части обыкновенных дифференциальных уравнений (11) и (12) имеют по условию непрерывные частные производные до второго порядка включительно и А(х,у)ф 0 в некоторой окрестности G0 точки (х0,у0), то из
теоремы существования и единственности решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (см. гл. 3, § 3) следует существование общих интегралов :
<рх (х, у) = СХ = const, <р2 (х, у) = С2= const (13)
уравнений (11) и (12) и их левые части имеют непрерывные частные производные до второго порядка в окрестности G0.
Для уравнений гиперболического типа общие интегралы (13) вещественны и различны. Значит, уравнения гиперболического типа имеют два различных семейства вещественных характеристик.
В преобразовании (2) положим, что
4 = 4 (*» У) = <Р\ (х, у), V = V О, У) = <Рг (х, У) , где функции (рх(х,у) и <р2(х,у) в силу леммы являются соответственно непрерывно дифференцируемыми решениями уравнения (8). Тогда в силу равенств (6) в уравнении (5) А (?, rj) = С(?, tj) = 0. Коэффициент В(^,1))ф 0 в окрестности точки = (рх{х0,у0), rj0 = <р2(х0,у0), так как в противном случае
либо .0 = 0, либо J2 = 0. Разделив на коэффициент 2В уравнение (5), получим
ufn =--L F(^,Tj,u,uf,ur!) = Fx(^,Tj,u,ui,un). (14)
2 В
Уравнение (14) есть канонический вид уравнений гиперболического типа (1). При А = С = 0 уравнение (1) уже имеет канонический вид (14).
Если уравнение (1) является линейным относительно производных первого порядка и самой функции и(х,у), то преобразованное уравнение (5) также будет линейным:
u4r,+a(^,T])u4 +b(^,r/)un +с{4,Т])и =
Второй случай. Пусть D = B2 -АС = 0 в области G. Тогда в области G уравнение (1) является уравнением параболического типа. Так как по предположению коэффициенты А, В и С уравнения (1) не обращаются одновременно в нуль, то в силу условия В1 -АС = 0 следует, что в каждой точке области G один из коэффициентов А и С отличен от нуля. Не нарушая общности можно считать, что Аф 0 в точке (х0,у0) е G, в окрестности G0
которой будем приводить уравнение (1) к каноническому виду. В этом случае оба уравнения (11) и (12) совпадают и обращаются в уравнение
dy _ В dx А
Для уравнения параболического типа имеется только одно семейство вещественных характеристик <рх(х,у) = Сх = const. В преобразовании (2)
положим % = <рх(х,у), где <px(x,y)eC2(G0) и есть решение уравнения (8). Возьмем за функцию rj = rj(x,y) любую дважды непрерывнодифференцируемую функцию так, чтобы якобиан в окрестности G0 точки (Хо,^о) был отличен от нуля: JфO. В уравнении (5) коэффициент
А(^,Т]) = 0, так как ?,= <рх(х,у) является решением уравнения (8). Тогда из
равенства (7) следует, что коэффициент при частной производной также
равен нулю, т.е. В{^,Т]) = 0. Коэффициент Сф 0 в G0. Если С = 0 в некоторой точке окрестности G0, то из (6) с учетом В = -JАС найдем
7Й?,+7|С[>,=0,
¦ _ (*)
л/И7Vx+^\C\vy=^-
Поскольку определитель системы (*)
? 4у
Vx Vy
то система (*) имеет только нулевое решение А = С = 0. Тогда 5 = 0, что противоречит условию |^| + |5| + jC|>0 в G0. Разделив на C(^,rj) уравнение (5), получим
ur,n=F2(4,fJ ,u,us,u4). (15)
Выражение (15) является каноническим видом уравнений параболического типа.
Предыдущая << 1 .. 236 237 238 239 240 241 < 242 > 243 244 245 246 247 248 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed