Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
knat\ . кпх
/ й If кп at . <
«п=-2,7 A cos —— + qk sm-п ТУ, к\ I
к=1 Л v * ^
/а2 v2' if Ъга? . knat\ . кпх
*„ = — L, 7 Рк cos~r + sin
п к\ I
sin—-—; (33)
sin--------, (34)
I
которые при любом (x,t) е G мажорируются рядом
Id
-Н» 1 .
X т[\Рк\ + \Як\1 d = шах {1, а2}. тг i=1 /с
(35)
Сходимость ряда (35) следует из сходимости рядов (31) и следующей оценки :
1| I 1
Г 1 Л 1 1^1 2Л
1 2 ?+Рк
Тогда ряды (33) и (34) на основании признака Вейерштрасса сходятся абсолютно и равномерно на G . Следовательно, функции и^ и ип непрерывны
в замкнутой области G и, подставляя (33) и (34) в уравнение (15), убеждаемся в том, что функция u(x,t), определяемая рядом (22), является его решением в области G . Теорема 2 доказана.
2.2. Обобщенное решение. Если начальные функции ^0(х) и <рх(х) не
удовлетворяют условиям теоремы 2, то может не существовать дважды непрерывно дифференцируемого решения первой начально-граничной задачи (15), (16), (4). Однако, если (рй(х) непрерывно дифференцируема на [0,/] и
^„(0) = д>(1) = 0, а функция <рх(х) непрерывна на [0,/] и ^(0) = <рх(1), то ряд
(22) равномерно сходится в замкнутой области G и определяет непрерывную функцию.
Физически ясно, что при этих начальных условиях струна будет совершать колебания, хотя математического решения задачи может не существовать. Следовательно, должно существовать какое-то «обобщенное решение» задачи, соответствующее реальному физическому колебанию струны.
Определение 1. Дважды непрерывно дифференцируемое на G решение первой начально-граничной задачи (15), (16), (4) назовем классическим или регулярным решением этой задачи.
Определение 2. Функцию u(x,t) будем называть обобщенным решением первой начально-граничной задачи (15), (16), (4), если существует последовательность {un(x,t)} регулярных решений задачи (15), (16), (4) с
начальными данными: ип (х,0) = (р0п (х), unt (х,0) = <ри (х), 0 < х < I,
равномерно сходящаяся к функции и (х, t) на G.
Теорема 2*. Если <р0(х) е С1 [0,/], <р0(0) = <р0(1) = 0, д>х(х) е С[0,1],
<рх(0) = срх(/) = 0, то существует единственное обобщенное решение u(x,t) задачи (15), (16), (4), которое определяется суммой ряда (22) и является непрерывной на G.
Доказательство. Пусть функции <р0(х) и <р,(х) удовлетворяют условиям
теоремы 2*. Тогда существуют последовательности функций {<;Р0„(х)} и
{<р1п(х)}, удовлетворяющих условиям теоремы 2, равномерно сходящиеся на
сегменте [0,/] соответственно к функциям р0(х) и <pt(x). По функциям р0„(х)
и ф,„(х) на основании теоремы 2 посредством формулы (22) построим
последовательность un(x,t) регулярных решений задачи (15), (16), (4):
ч knat , . knat. . knx
u„(x,t) = 2_j(ak cos—-— + bk sin—-—)sin—— . (22i)
где
aln) = 7 J^0BWsin^7~dx, bf = —jV>ln (x)sin^^rfx.
/ q / »v/t (2 ^ »
На основании формулы (22) по функциям ^0(х) и ф(х) построим функцию u(x,t), где коэффициенты ak и Ък определяются соответственно по формулам (25) и (26). Покажем, что un(x,t) равномерно сходится к функциям
u(x,t) на G. По построению (рйп{х) ^ <Ро(Х) и Ф\п(х) Ф\(х) на [0,/]. Это
означает, что для любого е > 0 существует номер п0 такой, что для всех п > п0 и при всех хе[0,/] справедливы неравенства:
\ф0п(х)-ф0(х)\<? и Тогда с учетом этих неравенств при всех п > я0 и при любом к & N имеем
2 ^
Кп)-а*|^т \\<Pon(x)-<pn{x)\dx<2e-,
* О
|^и) — Ь*| < -1— J|^„(x)-^(x)|fl^<^-.
1 1 kna ' kna
Эти оценки означают, что а?п) —> ак и b[n) —> Ък при я —» со и любом к е N.
Пусть Spn)(x,t) - р-я частичная сумма ряда (22^, a Sp(x,t) - р-я
частичная сумма ряда (22). Последовательность Spn\x,t) ^ Sp(x,t) на G.
Действительно, в силу сходимости а[л) и Ь[п) при п —> со по числу ех = — > О
2 р
найдется номер я, такой, что при всех я > я, справедливы неравенства :
ain) - а,
<?•, и Тогда для всех я > щ и (x,t)eG при любом
peN\
к=1
Поскольку ряды (22^ и (22) равномерно сходятся на G , то S(p\x,t) ^ un(x,t)
и S (x,t) ^ u(x,t) на G. В силу равномерной сходимости последовательностей S^fat) по р и п и Sp(x,t) из следующей оценки:
вытекает равномерная сходимость un(x, t) к u(x,t) на G jeM самым,
существование обобщенного решения задачи (15), (16) и (4) доказано. Такое обобщенное решение единственно, ибо не может существовать двух таких последовательностей un(x,t) и un (х, t), у которых функции <р0п и <р0п и <р]п и
<ры стремились бы соответственно к одному пределу <р0(х) и <рх(х), а сами последовательности - к различным пределам. Если бы существовали такие последовательности un(x, t) и un(x, t) , то последовательность
