Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
где o(x,t) есть решение неоднородного уравнения
(38)
удовлетворяющее нулевым граничным условиям
у(-г»О|1_о=0» ^CM)L=f=0> 0<t<Tx, (39)
и нулевым начальным условиям
y(*>OLo =0> y»(*»OL0=0> 0<х<1, (40)
а a>(x,t) есть решение однородного уравнения
удовлетворяющее граничным условиям
®(*,0L=0, Q)(x,t)\x=l=0, 0<t<Tx, и начальным условиям
®(*>OL0=Po(*)> =Pi(*)» 0<х<1.
Нетрудно видеть, что если построены функции v(x,t) и co{x,t) , то сумма (37), действительно, дает решение поставленной выше задачи (36), (4) и (16).
Решение o(x,t) представляет вынужденные колебания струны, закрепленной на концах, при отсутствии начальных возмущений. Решение
589
па п Т0
со, --------= — J— и Т
I IV р
o)(x,t) представляет свободные колебания струны, закрепленной на концах, которые происходят только вследствие начального возмущения. Эта задача полностью решена в п.2.1, поэтому здесь остановимся только на нахождении решения o(x,t) задачи (38) - (40). Решение этой задачи будем искать в виде суммы ряда по собственным функциям задачи (20), (21):
J-03 1г ¦тг у
и(:х,0 = Х Tk(t) sin——, (41)
к=1 L
где Tk{t) - пока неизвестные функции. Предположим, что ряд (41) сходится
равномерно на G и там допускает почленное дифференцирование по х и t дважды. Тогда сумма v(x,t) ряда (41) удовлетворяет нулевым граничным условиям (39). Подставляя ряд (41) в начальные условия (40), получим условия для функций Тк (t) :
Тк(0) = 0, г;(0 = 0, к = 1,2,... . (42)
Пусть заданная функция g{x,t) такова, что она на сегменте [0,/] по переменной х разлагается в ряд Фурье по синусам
]с7Г V
g(x,t) = j] gk(0 sin——, (43)
ы\ 1
где коэффициенты gk(t) определяются по формулам
gk (0 = у {g (x,t) sin^^ dx. (44)
L о L
Подставив ряд (41) в уравнение (38), получим
1 г mu, \ 2 гг, , \ 1 ¦ ктг х кп а.
^[Tk(t) + (Dk Tk(t)]s\n—— = g(x,t), сок=—-. (45)
к=1 L I
Сравнивая разложения (43) и (45) одной и той же функции g(x,t), найдем обыкновенное линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
T:(t) + o>k2Tk(t) = gk(t), 0 <1<Т{. (46)
Итак, для определения функций Tk(t) получены дифференциальное
уравнение (46) и начальные условия (42). Для решения этой задачи воспользуемся результатами теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений второго порядка (см. гл. 3, § 6). Общее решение уравнения (46) построим на основе метода вариации постоянных. Предварительно найдем общее решение соответствующего к (46) однородного уравнения
Тк (t) = С, cos cokt + C2 sin cokt,
где С, и C2 - произвольные постоянные. Общее решение уравнения (46) будем искать в виде
Тк (t) = С, (0 cos a>kt + C2 (t) sin cokt, (47)
где неизвестные функции C,(i) и C2(t) определяются из системы
Г C[(t)coscokt + C2(t)sincokt = 0,
[- С'(0 сок sin + С' (0 сок coscokt = gk (О-
Отсюда находим
С' (0 = - ^ sin cokt, С' (i) = ^ cos .
а>к °>k
Интегрируя полученные уравнения, имеем
C,(i) =------sinfflt5 ds + Cx, C2(t)- — J?*(¦?) cosa>ks ds + C2,
Щ о ®io
где С, и C2 - произвольные постоянные.
Подставляя значения функций Ct(t) и C2(t) в (47), найдем общее решение уравнения (46)
Тк (t) = — f gk (5) sin [o>k (t - 5)] ds + C. cos cokt + C2 sin cokt. (48)
COk 0
Удовлетворяя общее решение (48) начальным условиям (42), получим
С, = С2 = 0. Тогда если функции gk(t) непрерывны на [0,7]], то решение задачи (46) и (42) определяется формулой
Tk(t) = —jgk (s) sin [а>к (t - 5)] ds . (49)
0
Теперь остается обосновать равномерную сходимость ряда (41) в G и возможность его почленного дифференцирования по х и t два раза. Если
функция g(x,t) непрерывна в G и там имеет непрерывные частные
производные по переменной х до второго порядка включительно и g(0,t) = g(l,t) = 0 при ie[0,7J], то, интегрируя по частям два раза в интеграле (44), найдем
