Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку уравнение струны является простейшим представителем уравнений гиперболического типа, то задача Дирихле для уравнений гиперболического типа, вообще говоря, поставлена некорректно.
Пример 3. Найти в полуплоскости t > О решение уравнения теплопроводности
=о.
удовлетворяющее начальным условиям :
t=0 <РАХ) ’ q
= срх (х) , х е R,
(10)
(11)
где ^о(х) и ^(х) - заданные достаточно гладкие функции.
Допустим, что существует решение задачи (10) и (11). Тогда заданные функции <pQ(x) и (рх{х) должны удовлетворять равенству
<рх(х) = а2 при t = 0, xeR.
(12)
Следовательно, только при выполнении условия (12) решение задачи (10)
и (11) может существовать. Поскольку функции <р0(х) и <рх(х) различные и не
связаны никакими условиями, то задача Коши для уравнения теплопроводности с двумя начальными условиями (11) является некорректно поставленной. Как увидим ниже, задача Коши для уравнения (10) становится корректной, если вместо условий (11) задать лишь одно условие
u(x,t)\ 1=0 = <р0(х), хеД,
где (р0(х) - заданная, по крайней мере, непрерывная и ограниченная на
числовой прямой функция.
Отметим, что некорректно поставленные задачи часто встречаются на практике при изучении объектов, недоступных непосредственному исследованию (например, в задачах георазведки - измерение в глубинах земли). В этих случаях приходится делать заключения о свойствах z таких объектов по
их косвенным (физически детерминированным) проявлениям и , доступным для экспериментальных измерений и связанных с z функциональной зависимостью вида Az = u. В результате возникает задача обработки наблюдений, которая является обратной задачей. Она состоит в определении z по данным и. Многие из этих задач являются некорректно поставленными. Теория решения обратных задач построена в работах российских ученых А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева, В.К. Иванова и их учеников.
§ 7. Задача Коши. Теорема Коши - Ковалевской
Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка от двух независимых переменных линейное относительно старших производных
А(х,у)ихх+2 В(х,у)иху + С(х,у)иуу + f (х,у,и,их,иу) - 0 (1)
в области D<Z-R2. Пусть в области D спрямляемая кривая L (имеющая конечную длину) задана параметрически
|х = х(»,
[у = У(?)> 0<s<1, где s - длина дуги кривой Z,, а / - длина кривой L (рис. 4).
Задача Коши. Найти в окрестности кривой и (х, у) уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям:
и \ L = u(x(s), y(s)) = T(s), О <S<1,
ди
dN
= v (5), 0 <s <1,
решение
(2)
(3)
где t(s) , v (5) - заданные достаточно гладкие функции.
Задача Коши для уравнений в частных производных является одной из важнейших краевых задач. Ее изучение представляет научный и практический интерес.
Теорема Коши - Ковалевской. Если коэффициенты уравнения (1), а также функции /(•), *(5)< y(s)> T(s)> v(5) являются аналитическими, то
564
задача Коши (1) - (3) имеет единственное аналитическое решение в достаточно малой окрестности кривой L при условии, что кривая L не является характеристикой уравнения.
Отметим, что если кривая L является характеристикой
дифференциального уравнения в частных производных (1) (см. §9), то задача Коши становится, вообще говоря, некорректной. Так в примере 3 §6 прямая t = О является характеристикой уравнения теплопроводности, поэтому задача Коши стала некорректной.
§ 8. Типы линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка от п независимых переменных
Ьи=^ Ау(х)ихх +'ZBi(x)ux +C(x)u(x) = F(x), (1)
i,y'=l ' ’ 1=1
где х = (х15 х2,xn) € G с R", п> 2. Коэффициенты Ау(х), Bt(x), С(х) и F(x) - заданные в области G достаточно гладкие функции. В точках xeG, где все коэффициенты Ay(x) = 0, i,j = l,n, уравнение (1) вырождается в уравнение первого порядка. Далее будем предполагать, что всюду в области G порядок уравнения равен двум, т.е. коэффициенты Ау (х) одновременно в
области G в нуль не обращаются.
Пусть х0 - произвольная, но фиксированная точка области G. Составим
квадратичную форму от переменных Ait соответствующую уравнению (1):
Q(XxA2,...,K)= i Ag(x0)XiXj. (2)
<j=i
Как известно из курса алгебры, квадратичная форма (2) при помощи неособого линейного преобразования переменных
