Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
1. Постановка задачи. Единственность решения
Рассмотрим уравнение вынужденных колебаний однородной струны
Lu= putt-T0uxx= p(x,t) (1)
в прямоугольнике
G = {(х,0 | 0<х</,0<?<7’1}, где I - длина струны, 7J - положительное действительное число, р -
плотность струны, Т0 - сила натяжения струны, p(x,t) - внешняя сила,
действующая на струну.
Первая начально-граничная задача. Найти в области G функцию u(x,t) со следующими свойствами :
1) функция u(x,t) дважды непрерывно дифференцируема на G и при всех (x,t) е G удовлетворяет уравнению (1), т.е.
и (х, t) е С2 (G) , (2)
Lu(x,t) = p(x,t) при (x,t)eG\ (3)
2) u(x,t) удовлетворяет начальным условиям :
u(x,t)\t=0 =<р0(х), Ut(x,t)\t=0 =фх(х), 0<х<1; (4)
3) u(x,t) удовлетворяет граничным условиям :
мСМ)|*=о =h\(t), u(x,t)\x=l =h2(t), 0<t<Tx, (5)
где p(x,t), (рй(х), <рх(х), hx(t), h2(t) - заданные достаточно гладкие
функции.
Теорема 1 (единственность решения). Если существует решение задачи (2) - (5), то оно единственно.
Доказательство. Предположим, что существуют два решения ux(x,t) и u2(x,t) начально-граничной задачи (2) - (5). Тогда их разность u{x,t) = ux(x,t)~u2(x,t) принадлежит классу C2(G) , удовлетворяет в области G однородному уравнению струны
Lu = L(ux-u2) = Lux- Lu2 = p(x,t)- p(x,t) = 0; (6)
и нулевым начальным условиям :
u(x,t)\^0=[ux(x,t)-u2(x,t)]\t=0 =ux(x,t)\t=0-u2(x,t)\^0 =
= <p0(x)-<p0(x) = 0, 0<x<l] (7)
U, (*> 01 ,=0 = k, (*> 0 - Щ, 0> О] I f=0 = Ul, (x> 011=0 ~U2, (Л> 011=0 =
= Pi(x)-px(x) = 0, 0 <x<l, (8)
и однородным граничным условиям :
“(*»0|х=0 =[“l(*>0-“2(*>0]Uo =«1(^0|х=0-“2(-*»0|х=0 =
= hx(t)-hx(t) = 0, 0<t<Tx: (9)
u(x,t)\x=l = [ux(x,t)-u2(x,t)]\x^ =ux{x,t)\x=l ~u2(x,t)\x=l =
= h2(t)-h2(t) = 0, 0<t<Tx . (10)
Докажем, что функция u(x,t), удовлетворяющая условиям (6) - (10),
тождественно равна нулю в G . Рассмотрим интеграл
J
( дил
\дх
dx,
(11)
который представляет собой математическое выражение закона сохранения энергии свободных колебаний струны при однородных (нулевых) граничных условиях (9) и (10), т.е. при отсутствии притока энергии извне или ее рассеивания в процессе колебаний. Неоднородность в уравнении (1) и неоднородность в граничных условиях (5) означают наличие постоянно действующих на струну факторов, подводящих или рассеивающих энергию струны. Неоднородность же в начальных условиях (4) означает, что если в начальный момент времени струна обладала определенным запасом энергии, то она, как увидим ниже, сохраняет этот запас в течение всего процесса колебаний. В самом деле, кинетическая энергия элемента Ax-dx струны в момент времени t равна
1 2 1 , 2
— mv - — pdxu, .
2 2
Интегрировав последнее выражение по х от нуля до /, найдем кинетическую энергию всей струны в момент времени t:
1 2
K{t) = — I put (x,t)dx .
2 0
Потенциальная энергия элемента dx струны есть работа силы натяжения
Т0 струны: T0(ds-dx), где ds - длина дуги струны в момент времени t,
соответствующая элементу dx струны в начальный момент времени / = 0. Поскольку (см. гл. 1, § 12, теорему 3; § 11, п.З)
ds = yj l + ul dx,
ГГ, 2 -I ^ 2 ^-4 1 б ^ 2
л/ 1 + и -1 = —мг--------ur + —мг - ... « — M ,
2 8 16 2 так как u2x <1 и производные и*, и6х, ... бесконечно малые по сравнению с и2х , то потенциальная энергия элемента dx приближенно равна
T0(ds-dx) = T0 (,J l + u2 -1) dx = ^TQu2xdx.
Тогда потенциальная энергия всей струны в момент времени t определяется равенством
1 ^
П(7) = — |гои2(х, t)dx.
2 о
Следовательно, интеграл (11): E(t) = ^Г(/) + П(/) представляет собой полную энергию поперечных колебаний струны, и поэтому его называют интегралом энергии струны.
Теперь покажем, что интеграл E(t) не зависит от времени t. Для этого вычислим производную
г
?'(0= \(pututt+TQuxuxt)dx. (12)
о
Учитывая однородные граничные условия (9) и (10) и вытекающие из них равенства:
ut(0,t) = 0, ut(l, t) = 0, 0<t <Tt,
проинтегрируем интеграл из (12) по частям :
