Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
p(x)un(x,t)-T0uxx(x,t) = p(x,t) . (1)
Если струна однородная, то р(х) = const и уравнение (1) запишется в
виде
и„ = a2uxx + g(x, t), (2)
где а2 =Т0/р, g(х, t) = p(x, t)/p.
Если отсутствуют внешние силы, т.е. р(х, t) = 0, то уравнение (2) примет
вид
utt=a2uxx. (3)
Уравнение (3) называют уравнением свободных колебаний однородной струны.
Продольные колебания стержня, а также колебания газа в трубке сводятся к уравнению вида (1).
Постановка основных начально-граничных задач
Уравнение в частных производных (1) при определенных условиях относительно коэффициентов и правой части имеет бесчисленное множества частных решений. Поэтому одного уравнения (1) не достаточно для полного определения движения струны. Нужны еще дополнительные условия, вытекающие из физического смысла задачи. Из динамики известно, что для определения движения точки нужно знать ее начальное положение и начальную скорость. Поэтому для определения движения струны естественно задать в начальный момент времени t = 0 положение и скорость всех точек струны, т.е.
= <^(х), 0 <х<1. (4)
t=0
Условия (4) называются начальными условиями, или условиями Коши. Струна может быть закрепленной или не закрепленной на концах. Для закрепленной на концах струны имеем
и(х’ 0|v-0 м (¦*> 01 = 0, 0 <t<T. (5)
где Т > 0, I - длина струны.
Условия (5) называются граничными, или краевыми условиями.
Таким образом, физическая задача об определении движения струны, закрепленной на концах, свелась к следующей математической задаче: найти решение дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям (4) и граничным условиям (5). Такая задача называется первой начально-граничной задачей для дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа.
Если концы струны не закреплены, а движутся по определенному закону, то условия (5) заменяются условиями:
^L=o = М0. u(x,t)\x={ =h2(t), 0<t<T,
где hx(t) и h2(t) - заданные достаточно гладкие функции.
Возможны и другие типы граничных условий. Граничные условия различают трех видов (родов).
1. Граничные условия первого рода
и(0, t) = h1(t), u(l, t) = h2(t), 0<t<T. (6)
Условия (6) означают, что концы струны движутся вертикально оси Ох по закону заданных функций hx и h2.
2. Граничные условия второго рода
ux(0,t) = vl(t), ux(l,t) = v2(t), 0<t<T. (7)
Условия (7) означают, что к концам струны приложены известные силы V, и v2.
3. Граничные условия третьего рода
их (0, t) - ax(t) и (0,*) = А (О» 0 <t<T, ux(l,t) + a2(t) и (l,t) = J32(t), 0<t <Т. (8)
где ax (t), a2(t), flx(t), А (О ~ заданные на [О, Г ] достаточно гладкие функции, причем ax(t)>0 и a2(t)> 0. Условия (8) означают упругое
закрепление концов струны.
Если функции, задаваемые в правой части граничных условий (6) - (8), равны нулю, то граничные условия называются однородными (нулевыми).
Поясним граничные условия (7) и (8). Рассмотрим задачу о продольных колебаниях пружины (рис. 2), один конец которой закреплен в точке подвеса, а другой конец свободен. Закон движения свободного конца не задан. Если в точке подвеса х = 0 отклонение и(0, t) = 0, а на свободном конце х-l натяжение
ди
пружины равно нулю : T(l,t) = к — = 0. Поскольку действие внешних сил
^ ы
отсутствует, то математическая формулировка условия свободного конца имеет вид
ux(x,t)\x=l =0.
Если конец х = 0 пружины движется по определенному закону h(t), а при х = I задана сила v(t), то граничные условия имеют вид
“(*>01^0 =h(t). ux(x,t)\x=l=v(t), 0<t<T.
Типичным также является условие упругого закрепления, например для
ОС
конца x = l ku (l,t) = —au(l,t) или и (I, t) = —hu(l, t) , h- —, 0<t<T,
к
где к,а>0, при котором конец х = 1 может перемещаться, но упругая сила закрепления вызывает на этом конце натяжение, стремящееся вернуть сместившийся конец в начальное положение. По закону Гука данная сила пропорциональна смещению u(l,t), при этом коэффициент пропорциональности а называется коэффициентом жесткости закрепления.
Если точка х = I, относительно которой имеет место упругое закрепление, перемещается и ее отклонение от начального положения задается функцией ©(О , то граничное условие имеет вид
ux(l,t) = -h[u(l,t)-®(t)], 0<t<T. (9)