Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Условие упругого закрепления на левом конце х = 0 имеет вид их (0, о = Л[и(о, 0-©(0]-
Отметим, что в случае жесткого закрепления (а велико), т.е. когда даже небольшие сдвиги конца вызывают большие натяжения, граничное условие (9) переходит в граничное условие первого рода u(l,t) = ®(t) , 0<t <Т.
В случае мягкого закрепления (а мало), т.е. когда большие сдвиги конца вызывают слабое натяжение, граничное условие (9) переходит в условие второго рода (условие свободного конца) ux(l,t) = 0, 0 < t < Т.
Если на обоих концах струны берутся граничные условия второго или третьего рода, т.е. условия (7) или (8), то соответствующие задачи называются второй или третьей начально-граничными задачами для дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа, в частности, для уравнения струны.
Если граничные условия при х = 0 и х = I имеют различные типы, то такие начально-граничные задачи называют смешанными.
§ 4. Вывод уравнения теплопроводности. Постановка основных начально-граничных задач
Рассмотрим твердое тело, температура которого в каждой точке (х, у, z) определяется функцией u(x,y,z,t) в момент времени t. Если различные части тела находятся при различной температуре, то в теле будет происходить движение тепла от более нагретых частей к менее нагретым частям тела. Вывод уравнения распространения тепла базируется на законе Фурье, согласно которому количество тепла AQ, проходящее за время At через малую
площадку A , находящуюся внутри рассматриваемого тела, определяется формулой
л
AQ=-k—— AS At, (1)
dN
i . т где к - коэффициент теплопроводности, ------ - производная по нормали N к
dN
площадке AS и она определяется формулой ди ди ди ди
----= — cos(iV, х) + — cos(7V, у) +— cos(iV, z) = ( gradw, N),
dN dx dy dz
т.е. производная по нормали представляет собой скалярное произведение двух векторов:
N = i cos а + j cos /3 + к cos у,
, _ - du - du ~ du
gradw = vu = i — + j — + к —,
dx dy dz
где i, j ,к - направляющие единичные векторы соответственно осей координат Ох, Оу, Oz, а, /3, у - углы между нормалью N с осями
координат.
В формуле (1) знак «-» означает, что тепло переходит от более нагретых точек к менее нагретым.
В дальнейшем предположим, что тело изотропно, это означает, что коэффициент теплопроводности к зависит только от х, у, z и не зависит от
du ( du'
N, и и------. Если тело анизотропно, то к = к х, у, z, N, и,---- .
dN V dN
Цпя вывода уравнения распределения тепла в изотропном теле выделим внутри тела достаточно малый параллелепипед (рис. 3):
V\x<^<x + Ax, y<7j <у + Ау, z <? <z + Az.
Составим для параллелепипеда V тепловой баланс. Через площадку ^ = х по
закону (1) входит следующее количество тепла за время At:
_ . , ди(х, у, z,t)
Qx=-k(x, у, z)----------------Ay Az At.
ox
Через площадку ^ = x + Ax проходит следующее количество тепла:
// а . ди(х + Ах, у, z,t)
Qx+&х=- к(х + Ах, у, z)-------------------Ay Az At.
дх
Тогда остающееся количество тепла в теле V вдоль оси Ох равно
де, = е,-е,+А,=&уAz Atx
к(х + Ах, у ,z)
ди(х + Ах, у, z, t)
_д_
дх
к('х, у, z)
дх
ди(х', у, z, t) дх
-к(х, у, z)
ди(х, у, z, t) дх
AxAyAzAt, х'е(х,х + Ах).
Аналогично вычисляется приток тепла через другие грани тела V :
дб,=-
а а =
д_
ду
д
k(x,y',z)
ди{х,у ,z,t) ду
dz
kU,y,z')8uiX'y’Z'-,'>
dz
Ay Ах Az At, y'e(y,y + Ay),
Az Ax Ay At, z e(z,z + Az).
Тогда общее количество теплоты, притекающее в тело V за промежуток времени At, равняется
Ql=AQz+AQx+AQ =
удхК
к(х, у, z)
du(x,y,z,t)
дх
+
ду
k(x,y’,z)
ди (х,у', z,t) ду
+
н— dz
dz
J J
Предположим, что внутри рассматриваемого тела имеются источники тепла. Пусть F(x,y,z,t) - непрерывная плотность тепла в единицу времени в
единице объема тела. Тогда количество тепла Q2, образующееся в теле V за
счет внешних источников тепла за время At, равно
Q2= F (x,y,z,t) Ах Ay Az At. (3)
С другой стороны, для изменения температуры тела V на Аи за промежуток времени At нужно затратить количество тепла Q3 - Аи c(x,y,z) p(x,y,z) Ах Ay Az =
