Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Обратно, пусть )л - характеристическое число ядра Kn (х, t) . Обозначим через A,, h2, ..., hn корни уравнения hn =/л. Построим функции ср^х) по формуле
ь ь
n(pi{x)-(p{x)Jrhi |K(x,t)<p(t)dt + hf fK2(x,t)<p(t)dt + ... +
a a
+ h.~x | Kn_x (x, t) q> (t) dt, (30)
a
где (p(x) есть собственная функция ядра Kn(x,t), соответствующая 472
характеристическому числу ц. Полагая в (30) г = 1,2,..., л и сложив найденные выражения с учетом равенств :
h\+h\ + ...+h\= 0, ? = 1, л-1,
получим следующее соотношение:
<р1(х) + <р2(х)+ ...+<ря(х) = <р(х).
Отсюда вытекает, что среди функций <Pi(x) имеется хотя бы одна, не равная тождественно нулю. Справедливо следующее тождество:
Pi(x)-ht | K(x,t)<Pi (t)dt
= q>(x)-h* \Kn(x,t)<p(t)dt, (31)
которое нетрудно показать, если в левой части (31) заменить п(р{(х) через формулу (30). Поскольку правая часть равенства (31) тождественно равна нулю, то его левая часть также равна нулю при некотором i :
ъ
<Pi (х) - hf I K(x,t)cpi (t)dt S 0 .
a
Полученное равенство показывает, что среди функций <Pi(x) , г = 1, л , есть по крайней мере одна, не равная тождественно нулю, которая является собственной функцией ядра К (х, t), соответствующая характеристическому
числу hi, где h" = ц . Теорема 6 доказана.
Из теоремы 6 видим, что все собственные функции ядра K(x,t) останутся собственными функциями для ядра Кп (х, t). Остается открытым вопрос, не будет ли иметь итерированное ядро Кп (х, t) другие собственные
функции, линейно независимые от уже известных.
4. Союзное интегральное уравнение
Для дальнейшего развития теории наряду с интегральным уравнением (1) рассмотрим уравнение
ц/(х)-Х \K(t, x)if/(t)dt = g(x), (32)
а
которое называется союзным с уравнением (1). Напишем и соответствующее однородное интегральное уравнение
ь
цг(х)-А \K(t, x)y/(t)dt = Q. (33)
а
С учетом прежних обозначений аргументов ядра определим ядро уравнения (32) формулой
K\x,t) = K(t, х).
Тогда символ (10) для ядра К*(х, t) получится из того же символа для ядра K(x,t) заменой xt на yt, и наоборот, т.е.
к* / х2 \ = к / У 2 • \
(хх - Хп (у 1 - Уп
У 2 ¦ - Уп, Х2 • ¦
Из формулы (11) следует, что для ядра K*(x,t) коэффициенты dn будут такими же, что и ядра К(х, t), а из формулы (19) вытекает, что коэффициенты dn(x,t) ядра K*(x,t) получаются из аналогичных коэффициентов для К(х, t) простой перестановкой аргументов х и t. Таким образом, числитель и
знаменатель в формуле (20) для союзного интегрального уравнения (28) определяются через аналогичные функции для уравнения (1) по формулам :
D\x,t,X) = D(t,x, Л), D,(A) = D(A).
Отсюда резольвента ядра K*(x,t) определяется по формуле
R'rx t x) = Dt(x’U = D(t’ *’
D\X)
Для союзного уравнения (32) справедливы все утверждения, установленные выше. Поскольку D* (Л) = D (Л) , то отсюда следует, что союзное уравнение (32) имеет те же характеристические числа, что и основное интегральное уравнение (1), т.е. однородное интегральное уравнение (26) и союзное с ним интегральное уравнение (33) одновременно или имеют только нулевое решение или имеют решения, отличные от нуля.
Пусть Л есть характеристическое число ядра K(x,t). Тогда уравнения
(26) и (33) одновременно имеют решения, отличные от нуля. Покажем, что ранг характеристических чисел этих уравнений одинаков.
Теорема 7. Однородное интегральное уравнение (26) и союзное с ним интегральное уравнение (33) имеют одинаковое число линейно независимых решений, т.е. ранг их совпадающих характеристических чисел одинаков.
Доказательство. Пусть Л является характеристическим числом интегрального уравнения (26) ранга т и оно же является характеристическим числом уравнения (33) ранга п . Пусть
<рх{х),<р2{х\...,<рт{х) (34)
-линейно независимые решения интегрального уравнения (26), и
у/х(х),у/2(х),...,ц/п(х) (35)
-линейно независимые решения интегрального уравнения (33), т.е.
ь _____
<pt(x) = Л f K(x,t)<Pi(t)dt, i = l,m, (36)
a
b _________________________
y/t{x) = Л |К(t,x)y/i(t)dt, i = l,n. (37)
